Analysis, Abstand von einem Punkt zu Funktion?

hi, ich verstehe nicht ganz, wie man das macht. Eine Aufgabe wäre, von welchem Punkt der funktion f(x) = 1/x der Abstand zum Punkt P(0,0) minimal ist. Wie würde man hier vorgehen?

Answer 1

[mihisu]

Der Abstand eines Punktes (x | y) zum Ursprung beträgt:

$\sqrt{x^2+y^2}$

Im konkreten Fall hat man die durch f(x) = 1/x gegebene Funktion. Ein Punkt (x | y) liegt genau dann auf dem Funktionsgraphen, wenn der Punkt die Funktionsgleichung erfüllt, also wenn y = f(x) ist, im konkreten Fall also... y = 1/x.

Für den Punkt (x | 1/x) an einer Stelle x beträgt der Abstand des Punkts zum Ursprung (0 | 0)...

$\sqrt{x^2+\left(\frac{1}{x}\right)^2}$

Nun musst du herausfinden, an welcher Stelle x dieser Abstand minimal wird. Dazu kannst du entsprechend die durch

$d\left(x\right)=\sqrt{x^2+\left(\frac{1}{x}\right)^2}$

auf Extrempunkte untersuchen.

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Mögliches Zwischenergebnis:

$d'\left(x\right)=\frac{x-x^{-3}}{\sqrt{x^2+x^{-2}}}=\frac{x^4-1}{x^3\cdot\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}$

Bei x = ±1 befinden sich die Minimumstellen der Funktion d.

Ergebnis: Die Punkte auf dem Graphen von f mit minimalem Abstand zu P(0 | 0) sind die Punkte (1 | 1) und (-1 | -1).

Comments

[Zellner82]

Schön :)

Answer 2

[Zellner82]

Abstand s(x) bilden von (0|0) und dem Funktionswert f(x)=1/x , also zu den Punkten (0|0) und (x|1/x):

$s\left(x\right)=\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(\frac{1}{x}-0\right)^2}=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ ,$

wobei x nicht 0 sein darf!

Die Idee dahinter ist ja, dass die Punkte auf der Kurve durch die Funktionswerte 1/x bestimmt sind... Abstand s(x) oben ist gegeben in der Euklidschen Norm.

Dieses minimale s(x) zu bestimmen, ist nun eine Extremwertaufgabe, also du brauchst die 1. Ableitung von s(x), also s'(x), wie gewohnt.

Probier einmal...