Wie löse ich diese Gleichung (mit Rechenweg)?

5 Antworten

Hallo Spiikeh

Die angegebene Funktion f(x) = 0,25x³+0,5x²+(15/4)x-3 hat leider keine leicht zu erratende Nullstelle.

Aus den Ableitungen f'(x) = 0,75x²+x+(15/4)  und f''(x) = 1,5x+1 kann man folgendes entnehmen:
1. f'(x) = 0;    ---> 0,75(x²+(4/3)x+5) = 0;  ---> x²+(4/3)x+(2/3)²  + (2/3)²+5 =0: ---> (x+2/3)² = - 49/9 hat keine Lösung, da (x+2/3)² nicht negativ werden kann, daher gibt es kein Maximum und kein Minimum. Also gibt es nur einen Schnittpunkt mit der x-Achse.
2. f''(x) = 0;   ---> 0 = 1,5x+1;  --->  x = -2/3;  Bei x = -2/3 liegt der Wendepunkt. Der zugehörige y-Wert ist y = 0,25(-2/3)³+0,5(_2/3)²+(15/4)(-2/3)-3 = -5,352.
3. die Steigung im Wendepunkt ist f'(-2/3) = 3,42. Dies ist die geringste Steigung im Kurvenverlauf; vor und nach dem Wendepunkt wird sie allmählich größer.
4. Für x=0 ist f(x) = -3;  für x=1 ist f(x) = 1,5. Der gesuchte Schnittpunkt mit der x-Achse liegt also dazwischen und zwar näher an x=1. Als erste Näherung kann man x=2/3 nehmen, damit erhält man f(x) = 0,204. x muss also etwas kleiner als 2/3 sein. Durch eines der bekannten Näherungsverfahren kann man die Nullstelle dann noch genauer ermitteln. 

Es grüßt HEWKLDOe.  

Normiere zunächst:

0.25x³+0.5x2+15/4 * x = 3 | *4

x³+2x²+15x=12 | -12

x³+2x²+15x-12=0

Gibt es nun ganzzahlige Nullstellen, sind sie Teiler vom Absolutglied (-12). Mögliche Kandidaten sind also ±12 ; ±6 ; ±4 ; ±3 ; ±2 ; ±1. Probier die erstmal alle durch und führe dann mit den Nullstellen, die du hast, Polynomdivisionen durch (es reicht hier eine einzige, dann sollte dein Term von Grad 2 sein, da geht's dann per Lösungsformel weiter).

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Aber surprise, surprise: Die einzige Nullstelle ist nicht mal ganzzahlig und schier unmöglich zu erraten. Hier bringt das Newton-Verfahren oder eine Lösung per Computer-Algebra-System den gesuchten Wert.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Sicher, dass die Gleichung stimmt?

Bei einer Gleichung 3. Grades musst du in der Regel die erste Nullstelle erraten und das ist hier so gut wie unmöglich.

Eine Annäherung könntest du aber machen

Eine Nullstelle ist 3, wie geht es dann weiter?

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@Spiikeh

die Nullstelle ist davon nicht 3.

Aber angenommen du hast eine Nullstelle, führst du eine Polynomdivision mit (x-3) durch

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@Spiikeh

Nö, eine Nullstelle ist nicht 3.

0.25 * 3³ + 0.5* 3² + 15/4 * 3 = 22.5 ≠ 0.

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@Phil093

Ups, doch, sie ist 3, aber ich habe statt -, ein plus bei 15/4 gemacht.

Ich schreibe morgen eine ZP und das sollen wir dort können, aber ohne Polynomdivision.

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@Spiikeh

Du brauchst aber Polynomdivision für Gleichungen 3. Grades.

Dann stimmt die Gleichung immer noch nich..

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@Phil093

Oder man multipliziert aus, aber dann nervt die = 3 am Ende.

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@Spiikeh

was willst du denn ausmultiplizieren?

Du musst die (x-3) von deiner Gleichung trennen/ausklammern, das geht nur mit Polynomdivision, bei etwas komplizierteren Aufgaben

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