Gleichung nach x auflösen?
Wie löst man folgende Gleichung nach x auf ?
-4x^3 + 6x^2 -1 = 1
Ich weiß, dass das Ergebnis x=1 und x=-0,5 ist, allerdings verstehe ich den Rechenweg nicht, danke schonmal schnelle für Hilfe
2 Antworten
Bei Gleichungen höher als zweiten Grades vereinfacht man die Gleichung und hofft, dass man eine Lösung erraten kann.
-4x³ + 6x² -1 = 1
-4x³ + 6x² = 2 | : 2
-2x³ + 3x² = 1
x² ausklammern
x²(3 - 2x) =1
Man probiert am besten zuerst (betragsmäßig) kleine ganze Zahlen aus (-1, +1, -2, +2), meistens hilft das. Glücklicherweise auch hier, z.B. x = 1.
Also ist x1 = 1 die erste Nullstelle.
Jetzt kommen Standardverfahren. Das Polynom
-4x³ + 6x² - 2 = 0
wird in Faktoren zerlegt. Wenn das Polynom 0 werden soll, muss einer der Faktoren 0 sein. Einen Faktor kennen wir schon, nämlich (x - 1).
Polynomdivision
(-4x³ + 6x² - 2) : (x - 1) = -4x² + 2x + 2,
also -4x³ + 6x² - 2 = (-4x² + 2x + 2) * (x - 1) = 0
Die beiden fehlenden Nullstellen ermitteln wir über
-4x² + 2x + 2 = 0 | : 4
x² - 1/2 * x - 1/2 = 0
x = 1/4 +/- sqrt(1/16 + 8/16)
x =1/4 +/- 3/4
x2 = 1/4 - 3/4 = -1/2
x3 = 1/4 + 3/4 = 1
Es gilt x3 = x1, sowas kann vorkommen, sogenannte "Doppellösung".
Meintest du eventuell -4x^2? Gleichungen mit hoch 3 sind mir nicht bekannt :)
Doch, das gibts. Aber da muss man schon ganz schön herumtricksen, weil es kein Standardverfahren gibt. (Für hoch 3 und hoch 4 gibt es zwar auch Lösungsformeln, aber wenn man die sieht, vergeht einem alles.)