Wie löse ich diese Extremwertaufgabe mit Kostenfunktion?
Aufgabe:
Eine Elektrofirma verkauft monatlich 5000 Stück eines Bauteils zum Stückpreis von 25€. Die Markforschungsabteilung dieser Firma stellt fest, dass sich der durchschnittliche monatliche Absatz bei jeder Stückpreissenkung von 1€ um jeweils 300 Stück erhöhen würde. Bei welchem Stückpreis sind die monatilchen Einnahmen am größten?
Kann mir jemand beim Ansatz helfen?
Ich komme hier weder auf die Haupt-, noch auf die Nebenbedingung.
Ich weiß natürlich nur, dass Gewinn maximal werden soll und ich irgendwie als Hauptbedingung dementsprechend eine Funktion K(x) brauche. Aber wie stelle ich diese auf?
Und wie mache ich die Nebenbedingung? Bin total ratlos :(
4 Antworten
Du musst die Preis-Absatz-Funktion bestimmen:
p(5000) = 25
p(8000) = 15
p(x) = m x + b
m = (25 - 10) / (5000 - 8000) / = - 1/300
25 = -1/300 * 5000 + b
41 2/3 = b
p(x) = 41 2/3 - 1/300 x
E(x) = -1/300 x² + 41 2/3 x
Das ist eine nach unten offene Parabel mit den Nullstellen 0 (kein Verkauf) und 12500 (Preis = 0)
Der Scheitelpunkt der Parabel ist bei x=6250.
Dann ist der Stückpreis: 41 2/3 - 1/300 * 6250 = 20,83
Der Erlös hängt nur von Stückzahl und Preis ab. Die Kosten brauchst du für den Gewinn.
Man kann sich natürlich für jede Situation eine individuelle Speziallösung überlegen.
In der Wirtschaftsmathematik gibt es eine Handvoll Standardaufgaben, die man nach Schema F abspulen kann. Wenn das Schema nicht sofort passt, wird die Aufgabe entsprechend hingebogen. Meine Lösung von heute morgen vor dem Frühstück (5:40 Uhr) war zur Aufgabe: Bestimme den maximalen Erlös bei linearer Preis-Absatz-Funktion (Monopolist als Preisbestimmer)
Da die Preis-Absatz-Funktion nicht fertig vorlag, habe ich sie mir (möglicherweise etwas umständlich) erstellt.
Dazu habe ich den gegebenen Punkt A(5000 | 25) genommen und mir einen weiteren aus den Angaben hergeleitet. Dabei kam B(8000|15) heraus. Einfacher wäre z.B. C(5300|24) gewesen. Mein Gedanke war, möglichst runde Zahlen zum Kopfrechnen zu haben, war aber Quatsch, weil ich ja am Ende doch den Punkt (5000 | 25) eingesetzt habe.
Die Preis-Absatz-Funktion gibt den Preis bei gegebenem Absatz an (obwohl die Realität eigentlich umgekehrt ist, über den Preis wird der Absatz beeinflusst) p(8000) = 15 heißt: Um einen Absatzanstieg von 5000 um 3000 auf 8000 Stück zu erzielen, muss der Preis von 25 € um 10 € auf 15 € gesenkt werden. Mit dem Punkt C wäre es entsprechend p(5300) = 24.
Also ist der zu einem Absatz von 5000 Stück gehörige Preis 25€ und der zu einem Absatz von 5300 Stück gehörige ist 24 €
Aus den beiden Punkten kann ich die Steigung der linearen Funktion p(x) berechnen: m = (5000 - 5300) / (25-24) = -1/300 Durch Einsetzen von 5000 bekomme ich b = 41 2/3
Die Erlösfunktion E(x) = p(x) * x ist eine nach unten offene Parabel mit einer Nullstelle im Ursprung (kein Verkauf) und einer weiteren an der Sättigungsgrenze (Preis 0).
E(x) = -1/300 x² + 41 2/3 x
E'(x) = -1/150 x + 125/3
notw. Bedingung für Scheitelpunkt E'(x) = 0:
-1/150 x + 125/3 = 0 | - 125/3
-1/150 x = - 125/3 | * -150
x = 125*50 = 6250
Eingesetzt in p(x)
p(6250) = -6250/300 + 41 2/3 = 20,83
Ich hoffe, diese Version ist verständlicher als die von heute morgen.
Da nur nach dem maximalen Einnahmen und nicht nach dem Gewinn gefragt ist, brauchst du nur die Funktion der Einnahmen
Einnahmen = Stückzahl * Stückpreis
Stückzahl = 5000 + 300 x
Stückpreis = 25 - x
Einnahmen = (5000 + 300x)(25 - x) = -300x^2 + 2500x + 125.000
1.Ableitung
E' = 0 = -600x + 2500
X= 2500/600 = 4,17
Wenn der Preis um 4.17 euro gesenkt wird wäre der Umsatz am größten.
Also.
Am ende des Monats hat die Fa im Moment 25€ für jedes Bauteil also U=25*5000 (U=P*S)
wenn man P um 1€ senkt steigt S um 300
Daraus könnte man folgendes machen
U(x)=(P-x)*(S+(x*300)) bzw. U(x)=(25-x)*(5000+(x*300))
Diese Funktion untersuchst du dann auf Extremstellen und das Maximum das du irgend wo finden wirst ist dein X für das der höchste Umsatz vorliegt
Die wäre in der Realität tatsächlich interessant aber scheint hier der Theorie gewichen zu sein.
E(x)= P(x) * n(x)
n sind die verkauften Stücke
P ist der Stückpreis
E sind die Einnahmen
P(x)= 25 - x hier ist x der 1 Euro
n(x)= 5000 + 300 * x mit x=1 300 mehr verkauft mit x=2 600 mehr verkauft usw.
E(x)= (25 Euro - x Euro) * (5000 Stck +300 Stck * x) ausmultipliziert
E(x)=125000 - 2500 *x - 300 *x^2 nun die Extremstelle finden
abgeleitet E´(x)= 0= - 600 *x - 2500 ergibt x=- 2500/600= - 4,166.. Euro
Stückpreis 25 Euro - 4,166.Euro= 20,834 Euro
Bei einen Stückpreis von 20,834 Euro hat die Firma die maximalen Einnahmen pro Monat.
Das verstehe ich nicht ganz in dem Zusammenhang.
Eigentlich müsste es doch dann so aussehen:
p(5000) = 5000 * 25
p(5000) = 125000
Denn wir wissen doch, dass sie 5000 Teile im Monat für jeweils 25€ verkaufen.
Und p(8000) verstehe ich erst recht nicht. Die Teile wurden um 300 Stück erhöht bei der Preissenkung von einem Euro. Wieso 8000 und 15€ bzw. dadurch 10€ Preissenkung??