Noch eine Extremwertaufgabe. Ein Kegel soll eine Seitenlänge von 15cm besitzen. Skizziert ist der Kegel mit h für die Höhe, d für den Durchmesser des Bodens und der Seitenlänge 15cm. Gesucht sind Höhe und Durchmesser, um ein größtmögliches Volumen zu erzielen. Hauptbedingung: V=(1/3)°r2°π°h V=(1/3)°r2°π°15 Eine Nebenbedingung kann ich aus der Aufgabenstellung nicht einfach herauslesen. Also muss ich diese berechnen? (1/3)°r2°π°15 → r2=((1/3)°π°15)/r2) ?? Irgendwie erschließt sich mir der Sinn meines Ansatzes nicht... Wenn ich wüsste, wie ich auf die Nebenbedingung komme, wäre mir schon sehr geholfen. Wenn ich danach nicht weiter rechnen kann, kann ich nochmal nachhaken. LG EDIT: für die Höhe habe ich versehentlich die Seitenlänge 15cm angegeben. Die Höhe ist unbekannt.

Extremwertaufgabe: Kegel?

Noch eine Extremwertaufgabe. Ein Kegel soll eine Seitenlänge von 15cm besitzen. Skizziert ist der Kegel mit h für die Höhe, d für den Durchmesser des Bodens und der Seitenlänge 15cm. Gesucht sind Höhe und Durchmesser, um ein größtmögliches Volumen zu erzielen.

Hauptbedingung: V=(1/3)_°r²_°π_°h
V=(1/3)_°r²_°π_°15
Eine Nebenbedingung kann ich aus der Aufgabenstellung nicht einfach herauslesen. Also muss ich diese berechnen?
(1/3)_°r²_°π_°15 → r²=((1/3)_°π_°15)/r²) ??

Irgendwie erschließt sich mir der Sinn meines Ansatzes nicht... Wenn ich wüsste, wie ich auf die Nebenbedingung komme, wäre mir schon sehr geholfen. Wenn ich danach nicht weiter rechnen kann, kann ich nochmal nachhaken.

EDIT: für die Höhe habe ich versehentlich die Seitenlänge 15cm angegeben. Die Höhe ist unbekannt.

4 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Geograph

Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist

im Thema Mathematik

10.12.2018, 00:24

V = π/3 • r² • h

r² = s² - h²

V = π/3 • (s² - h²) • h

V’ = π/3 • (s² - 3h²) = 0

h = s / √3 = 8,66

r = 12,25

V = 1360

ohne Garantie!

Geograph

11.01.2019, 20:01

Danke für den Stern!

MarkR442

09.12.2018, 23:30

Für das V des Kegels gilt:

V = ( 1 / 3 ) * G * h

wobei G der Flächeninhalt der Grundfläche des Kegels und h seine Höhe sei.

Bei einem Kreiskegel gilt:

G = π * r ²

wobei r der Radius die Grundfläche ist. Für die Länge der Mantellinie ("Seitenkante") s findet man (oder überlegt es sich mit Hilfe des Pythagoras):

s = √ ( h ² + r ² )

<=> s ² = h ² + r ²

<=> h = √ ( s ² - r ² )

mit s = 12 cm also:

h = √ ( 144 - r ² )

Beide fett gesetzten Terme in die Volumenformel Kegel (siehe oben) eingesetzt ergibt:

V ( r ) = ( 1 / 3 ) * π * r ² * √ ( 144 - r ² )

Radius „r“ bestimmen, für den V ( r ) maximal:

Lösung:

r = √ 96 = 9,80 cm.

h = 6,93 cm

Vmax = 696,50 cm ³

(Ergebnisse leicht gerundet)

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung

Triptan

Fragesteller

09.12.2018, 23:56

Okay, danke. Das hilft schonmal! Du hast bei der Kopie des ursprünglichen Textes den Anteil "Du sollst nun also den Radius r bestimmen, für den V ( r ) maximal wird. Schaffst du das alleine?" etwas abgeändert. Tatsächlich komme ich alleine irgendwie trotzdem nicht auf r, auch wenn ich mir die Kommentare dort anschau :(