Wie löse ich diese Aufgabe möglichst anschaulich?
Hey, ich muss in Mathe eine Hausaufgabenvorstellung über die im Bild zu sehende Aufgabe 16 machen.
Ich komme da allerdings nicht weiter, und erklären kann ich es bisher auch nicht.
Kann mir jemand helfen? Am besten mit korrekten Lösungen, Begründungen und Beispielen oder Widerlegungen
Vielen Dank
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16 Beurteilen Sie, ob die Aussage wahr oder falsch ist.
a) Wenn f eine ganzrationale Funktion vom Grad n ist, so hat f' höchstens n - 1 Nullstellen.
b) Die Ableitung der Funktion f mit f(x) = x³-x² ist f'(x) = 3x²-2x.
c) Der Graph der Ableitungsfunktion f' hat einen Schnittpunkt mit der x-Achse weniger als der Graph der Funktion f.
d) Die Tangente an den Graphen einer Funktion hat mit dem Graphen genau einen gemein-samen Punkt.
e) Zwei verschiedene Funktionen können nicht die gleiche Ableitungsfunktion haben.
f) Wenn man den Graphen einer Funktion f an der x-Achse spiegelt, so spiegelt sich auch der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion an der x-Achse.
1 Antwort
Lösungshinweise:
a) Wieviele Nullstellen hat eine ganzrationale Funktion f vom Grad n höchstens? Welchen Grad hat f'?
b) Wende die bekannten Verfahren zum Ableiten an.
c) Finde ein Gegenbeispiel. Hinweis: beschränke dich auf Funktionen vom Typ p(x) = x^n
d) Finde ein Gegenbeispiel. Betrachte dazu z.B. g(x) = p(x)*x^2 mit geeignetem p mit ungeradem Grad und p(0) <> 0. Was ist dann die Tangente an der Stelle x=0? Hat g ausser x=0 weitere Nullstellen? Du kannst z.B. die Funktion aus b) heran ziehen.
e) Finde ein Gegenbeispiel. Hinweis: was passiert beim Ableiten mit dem Absolutglied, also dem Koeffizienten der kein x bei sich hat?
f) Was genau bedeutet "an der x-Achse spiegeln"? Was ist die Ableitung von g(x) = (-1)*x^n?
Profifrage, auf die du vorbereitet sein solltest: warum ist c) kein Widerspruch zu a)