Wie kommt man auf die Lösung?
Acht gleiche Kleinwürfel werden zu einem Großwürfel zusammengesetzt. Um wieviel Prozent ist die Großwürfeloberfläche kleiner als die Summe der Oberflächen der acht Kleinwürfel?
A. 25%
B. 5%
C. 50%
D. 33%
E. 10%
5 Antworten
Mit 8 Würfeln musst du dir nur überlegen wie viele Seiten abgedeckt werden.
Da es hierbei nur "gleiche" Verhältnisse gibt (also alle befinden sich in einer Ecke) sind immer 3 Seiten abgedeckt, 3 Seiten sichtbar. Somit - nach meinem Verständnis - wären es 50%.
Hi.
Ich überlege gerade, wie man das machen würde. Würde ich mit einer Skizze machen, wenn ich jetzt Sift und Papier vor mir liegen hätte. Wahrscheinlich so, dass der Großwürfel 2x2x2 Kleinwürfel sind.
Dann würde ich überlegen, welche Flächen im Inneren verschwinden und welche außen sind. Und ich komme darauf, dass 3 von 6 Flächen pro Würfel verschwinden, damit 3 Außenflächen sind. Das hieße, dass die Oberfläche um 50% verringert ist.
Wir können es auch rechnerisch machen. X sei die Kantenlänge eines Kleinwürfels. Die gesamte Oberfläche aller 8 Würfel wäre damit 8*6*x²=48x². Die Oberfläche des Großwürfels wäre 6*(2x)² = 6*4x² = 24x². Und damit ist es bestätigt, Antwort C stimmt.
Oberfläche Kleinwürfel: a² * 6 Flächen * 8 Würfel = 48a²
Oberfläche Großwürfel: (4a²) * 6 Flächen * 1 Würfel = 24a²
Folglich ist C. (50 %) richtig.
Der große Würfel besteht aus 8 kleinen Würfeln.
Wenn der kleine Würfel die Kantenlänge a hat, dann hat der große Würfel die Kantenlänge 2a.
Folglich beträgt die Größe einer Fläche des großen Würfels 2a * 2a = (2a)² = 4a².
Da der Großwürfel bei einer Kleinwürfelkantenlänge von 1 eine Kantenlänge von 2 hat, hat jede Großwürfelfläche den vierfachen Inhalt einer Kleinwürfelfläche.
Der Kleinwürfel hat dabei eine Gesamtoberfläche von 6×1, der Großwürfel hat also 6×4.
Den Rest solltest du jetzt selbst hinbekommen.
Doch, das ist es ganz.
Die einzige Möglichkeit 8 gleichartige Würfel zu einem größeren Würfel zusammenzufügen ist zwei Reihen zu zwei Spalten in zwei Lagen.
Dadurch verdoppelt sich die Kantenlänge, was eine Vervierfachung der Fläche mit sich bringt.
Da ein Würfel, ob groß oder klein, 6 Seitenflächen hat, ergibt sich für das Verhältnis der Gesamtflächen (6×1)/(6×4), welches sich zu 1/4 kürzen lässt.
Der Kleinwürfel hat die Oberfläche 6a² (a ist die Kantenlänge),
alle zusammen also 48a², der Großwürfel hat 24a², also C.
Warum sind es 4a^2 bei dem Großwürfel?