Wie kann man schriftlich Wurzeln ziehen?
Wir haben das in der Schule nicht gelernt, weil es angeblich sehr kompliziert sein soll und wir dafür einen Taschenrechner verwenden durften. Trotzdem interessiert es mich wie man das schriftlich macht.
6 Antworten
Warnung : Geht nur mit Wurzeln deren Exponent 2 beträgt !!!!
Ziemlich einfach. Nutze ich sehr gerne.
Wir unterscheiden hier zwei Fälle.
1. Quadratzahlen z.b 16 25 64 ...
Bsp :
√16
Vorgehen : Ziehe von der 16 so lange ungerade positive Zahlen ab bis das Ergebnis 0 oder die letzte positive Zahl ist.
√16
-1
-3
-5
-7
——-
0
Wie oft du abgezogen hast ist dein Ergebnis.
√16 = 4
Noch ein Beispiel:
√4 = 2
-1
-3
——-
0
Jetzt erst wird es interessant:
2. Jede Wurzel Zahl (Komma etc. )
Bsp :
√1,25 =
Vorgehen :
Jede Zahl von rechts nach links in zweier Blöcke aufteilen.
√I1,I25 =
Von Dem ersten Block so lange positive ungerade Zahlen abziehen bis das Ergebnis 0 oder die letzte positive Zahl ist.
√I1,I25 =
-1
————
0
Wie oft wurde abgezogen ?
√I1,I25 = 1
Da wir jetzt das Komma überschreiten muss jetzt auch im Ergebnis ein Komma.
√I1,I25 = 1,
Nun ziehen wir den nächsten zweier Block nach unten.
√I1,I25 = 1,
-1
———
25
Jetzt müssen wir das Ergebnis oben * 2 nehmen und unter der 25 schreiben
√I1,I25 = 1,(*2)
-1
———-
25
- 2?
Die Lücken füllen wir mit 1.
√I1,I25 = 1,(*2)
-1
———-
25
-21
Jetzt gleiches Spiel wie immer.
√I1,I25 = 1,1(*2)
-1
———
25
-21
———-
4
Besonderheit : Sobald keine Blöcke da sind musst du einfach 00 schreiben und dann normal weiter rechnen.
√I1,I25 = 1,11
-1
———
25 (*2)
-21
———-
400 (*2)
-221
———-
179
Jetzt sind wir eigentlich fertig, dies sollte reichen wer lustig ist rechnet weiter.
Bsp 2 :
√I6I = 2,
-1
-3
———
4
Besonderheit : Sobald keine Blöcke mehr da sind und man 00 einfügt Komma setzen.
√I6I = 2,449
-1 (*2)
-3
————
200
- 41
-43 (*2)
-45
-47
————
2400
- 481 (*2)
-483
-485
-487
————
47100
-4881
-4883
-4885
-4887
-4889
-4891
-4893
-4895
———
usw.
Bemerkung : Wir dürfen maximal 9 zahlen abziehen ! Dies sollte erklären wie ich die Einsen ergänzt habe.
Letztes Beispiel:
√I2I = 1,414
-1 (*2)
——-
100
- 21
-23 (*2)
-25
-27
———-
400
-281(*2)
———
11900
- 2821
-2823
-2825
-2827
————
usw.
Wir hören auf, da die √2 irrational ist und unendliche Stellen nach dem Komma hat.
Das war das schriftliche Wurzelziehen. Na so schwer?
Die Technik mag einfach sein, aber man muss sehr gut sein im Kopfrechnen.
Du solltest die ersten 20 Quadratzahlen auswendig kennen, deren Wurzel ist also einfach. Wie es für beliebige reelle Zahlen funktioniert, kannst du auf Wikipedia nachlesen, wenn du "schriftliches Wurzelziehen" suchst. Es ist aber weder einfach, noch besonders nützlich.
Du kannst aber mithilfe eines Geodreiecks und eines Zirkels ziemlich einfach eine Wurzel auf graphische Weise berechnen: Zeichne zuerst einen Zahlenstrahl. Für die Wurzel von x, zeichne einen Halbkreis mit Radius x÷2. Der Mittelpunkt sollte die 0 auf dem Zahlenstrahl sein. Zeichne dann eine Linie bei der 1, senkrecht zum Zahlenstrahl, die den Halbkreis schneidet. Der Abstand zwischen diesem Schnittpunkt und der 0 auf dem Zahlenstrahl ist die Wurzel von x.
Es ist aber weder einfach, noch besonders nützlich.
Es ist einfach und es ist nützlich. Man trainiert dabei das Kopfrechnen und das Erinnerungsvermögen.
Wenn man ein bißchen Kopfrechnen beherrscht, ist das Wurzelziehen mit guter Genauigkeit im Kopf kein Problem. (Hier bei größeren Zahlen ->)
Verbesserung: Der Mittelpunkt des Halbkreises muss bei x÷2 sein. Sonst stimmt es.
Da die einzige Wurzel, die Du beim schriftlichen Wurzelziehen im Kopf ermitteln mußt, einstellig ist, reicht es sogar, die ersten neun Quadratzahlen auswendig zu können.
Trotzdem ist es besser, die Quadratzahlen von 1² bis 20² auswendig zu können, besser von 1² bis 30², dazu die Zweierpotenzen von 2^0 bis 2^10 und die Kubikzahlen von 1³ bis 10³.
Auch Primzahlen von 2 bis 97 sollten einem geläufig sein.
Der Vorteil dieser Kenntnisse besteht darin, zum Beispiel schnell faktorisieren zu können, was beim Lösen so mancher Gleichung (Nullstellensuche etc.) einen Zeitvorteil darstellt, der bei einer Klausur den Unterschied macht zwischen dem Bewältigen aller Aufgaben und dem Abbrechen aus Zeitnot.
Herzliche Grüße,
Willy
Man findet die Wurzel durch systematisches Probieren. Das heißt, man muß sich eine Methode ausdenken, die immer wieder angewendet wird, bis man zum Ergbenis kommt. Zum Glück muß man das nicht selbst machen, weil sich andere Leute (schon in der Antike /vor ca. 3000 Jahren) die Mühe schon gemacht haben.
Zum Beispiel: Immer den Durchschnitt nehmen.
Wurzel aus 17
17 / 17 = 1 -> Durchschnitt von 1+17 = 9
17 / 9 = 1,88~ -> Durchschnitt von 1,88~+9 = 5,44~
17 / 5,44~ = 3,1224489 -> Durchschnitt von 5,44~ + 3,1224489 = 4,283
17 / 4,283 = 3,968 -> Durchschnitt von 4,283 + 3,968 = 4,12610663
17 / 4,12610663 = 4,12010681 -> Durchschnitt von 4,126 = 4,120 = 4,123
Du siehst, es pendelt sich bei 4,123... ein
Also… zu berechnen sei √A und dann konstruiere man (x[n]) rekursiv durch x[0] := A, x[n+1] := ƒ(x[n]), wobei
ƒ(x) = x — g(x)/g'(x), wobei g(x) = x²–A.
Das nennt sich das Newton'sche Verfahren und hat ziemlich gute Konvergenzbedingungen, solange 1/g'(x) ⟶ ein r mit |r| < 1, für x ⟶ gesuchte Nullstelle (was hier zutrifft, da A≥1).
Ist jetzt zwar keine richtige Antwort auf deine Frage, aber dennoch
in den Zeiten ohne Taschenrechner gab es bei den Formelsammlungen noch ein extra Heft mit Tabellen, da könnte man sich das Ergebnis der Wurzel dann raussuchen.
genau. Sowas hatte mein Vater: einen sog. Rechenschieber—einmal als flachen Maßstab, einmal als rotierenden Zylinder. Die Skalierung ist logarithmisch und man führt ja die üblichen konstruktiven algebraischen Operationen wie üblich durch (Halbieren/Addieren/Subtrahieren) und dann wegen der Skala kommt man auf die richtige Zahl (genau wie Willy erzählt). Sehr erfinderisch! Und da steckt mehr Mathe drin als die Maßstäbe, die wir heute haben ; )
Durch systematisches Probieren. ;) Zum Beispiel mit dem Intervallschachtelungsverfahren: https://de.serlo.org/84196/intervallschachtelung-1/4
Eine Logarithmentafel hätte es auch getan.
Der Logarithmus der Quadratwurzel einer Zahl ist der halbe Logarithmus dieser Zahl.
Beispiel:
ln (49)=3,891820298
[ln (49)]/2=1,945910149
e^1,945910149=7, die Wurzel aus 49.
Das klappt natürlich auch mit jedem anderen Logarithmus, zum Beispiel mit dem Zehnerlogarithmus.
Dann muß natürlich die Basis 10 mit dem ermittelten Logarithmus potenziert werden, nicht die Eulersche Zahl e.
Herzliche Grüße,
Willy