Wie kann ich prüfen, ob die Vektoren linear unabhängig ist?
Hey, ich habe 2 Aufgaben. Einmal soll ich prüfen ob a) linear unabhängig ist und einmal ob b) linear unabhängig ist. a) habe ich bereits gelöst (auch wenn ich mir nicht sicher bin ob es so richtig ist), aber b) weiß ich nicht genau was ich machen soll, weil es eine ganz andere Form als a) hat. Hat jemand einen Tipp für mich wie ich das lösen kann? Siehe Bild:
2 Antworten
Du kannst einfach die Gleichung aufstellen, wie sie in der Aufgabenstellung am Anfang steht:
Jetzt musst du zeigen, dass das nur gilt, wenn die λ's alle gleich 0 sind. Dazu setzt du die Terme für die vier Polynome ein. Dann steht da:
Der "mechanische" Weg wäre jetzt der, dass du das alles ausmultiplizierst und dann jeden Koeffizienten gleich 0 setzt, d. h. du bekommst irgendwas
a + bz + cz² + dz³ = 0 (wobei a, b, c und d jeweils von den λ's abhängen), dann setzt du a=0, b=0 usw. und hast wieder ein LGS.
Das ist hier aber gar nicht nötig.
Wenn du dir die zweite Gleichung anschaust und von hinten anfängst, dann siehst du gleich, dass der Koeffizient vor dem z³ am λ_4 * 2 ist - das kann nur für λ_4 = 0 richtig sein. Und so kannst du dich dann von hinten nach vorne hangeln, bis du am Ende siehst, dass alle λ's gleich Null sein müssen, die vier Polynome sind also linear unabhängig.
Wobei der natürlich dasselbe tut - der Koeffizientenvergleich setzt die Unabhängigkeit von 1, z, z² ... ja ganz genauso voraus.
Zu a) hattet ihr das Gaußverfahren noch nicht? Denn damit würde es viel einfacher gehen. Bringe dazu die Koeffizienten Matrix in Zeilenstufenform und prüfe dann, ob jede Zeile keine Nullzeile ist.
b) du kannst die Polynome als Vektoren in C^4 darstellen. Der Erste Basisvektor entspricht 1, der zweite z, der dritte z^2 und der vierte z^3.
Ja, aber damit verwendest du implizit die lineare Unabhängigkeit von 1, z, z^2, ....
Daher scheint mir der Weg "zu Fuß", den du ja zu Beginn vorgeschlagen hast, der bessere zu sein.