Wie kann ich eine Differenzengleichung für ein beschränktes und exponentielles Wachstum erstellen?
einen wunderschönen Tag euch allen,
ich will 2 Differenzengleichungen erstellen wie schon in der Frage herauslesbar eines für ein exponentielles Wachstum und eines für ein beschränktes, könnt ihr mir dabei helfen? Die Zahlen sollten möglichst schlicht sein, und eine Lösung mit Lösungsweg wäre sehr hilfreich. Also nicht zu schwere, ich möchte nicht weitere wochen damit verbringen meine Birne überanzustrengen ^^
LG
2 Antworten
Die Gleichung für ein exponentielles Wachstum oder auch einen exponentiellen Abfall ist denkbar einfach. Sie ist nämlich linear. Nehmen wir zum Beispiel eine bestimmte Stoffmenge n eines Radionuklids. Dann ist
dn/dt = –λn.
Dabei ist λ die Zerfallskonstante und ln(2)/λ die Halbwertszeit.
Exponentielles Wachstum ist von der Struktur her das gleiche mit einem positiven Vorzeichen, mit der Verdopplungszeit ln(2)/λ.
Bei beschränktem Wachstum müsste jetzt noch ein negativer Term dazu kommen.
Der Prozess wird durch eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanen Koeffizienten und Inhomogenität beschrieben:
dn/dt = k(n_{up}-n),
wobei k die Wachstumsrate in Einheiten von [t]^{-1} ist und n_{up} > n(t) für alle t gefordert wird. Spezifiziert man n(t_0)=n_0 ergibt sich n(t)=n_{up}-(n_{up}-n_0)*exp(-k*(t-t_0)) als Lösung der Differentialgleichung.
VG
dongodongo