Wie kann ich eine Differenzengleichung für ein beschränktes und exponentielles Wachstum erstellen?

2 Antworten

Die Gleichung für ein exponentielles Wachstum oder auch einen exponentiellen Abfall ist denkbar einfach. Sie ist nämlich linear. Nehmen wir zum Beispiel eine bestimmte Stoffmenge n eines Radionuklids. Dann ist
dn/dt = –λn.
Dabei ist λ die Zerfallskonstante und ln(2)/λ die Halbwertszeit.
Exponentielles Wachstum ist von der Struktur her das gleiche mit einem positiven Vorzeichen, mit der Verdopplungszeit ln(2)/λ.
Bei beschränktem Wachstum müsste jetzt noch ein negativer Term dazu kommen.

Der Prozess wird durch eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanen Koeffizienten und Inhomogenität beschrieben:

dn/dt = k(n_{up}-n),

wobei k die Wachstumsrate in Einheiten von [t]^{-1} ist und n_{up} > n(t) für alle t gefordert wird. Spezifiziert man n(t_0)=n_0 ergibt sich n(t)=n_{up}-(n_{up}-n_0)*exp(-k*(t-t_0)) als Lösung der Differentialgleichung.

VG

dongodongo

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