Exponentielles Wachstum - Mathe Textaufgabe. Kann mir jemand helfen?
Hey Community. :-) Ich bin vorherige Woche zufällig auf eine ganz interessante Matheaufgabe gestoßen. Ja - so weit so gut, leider fehlt mir jeder Lösungsansatz, da ich exponentielles Wachstum leider irgendwie komplett verdrängt hab.
Die Textaufgabe:
15 Ratten finden eine unbesiedelte Müllhalde, in der sie ideale Lebensbedingungen zum Fortpflanzen vorfinden. Der Zuwachs beträgt 4% vom Bestand. Gleichzeitig sinkt die Zahl der Ratten durch den Sterbefaktor mit 0,25% vom Bestand pro Tag.
Aufgabe 1: Wie viele Ratten leben nach einem Monat (30 Tage) auf der Müllhalde?
Aufgabe 2: Jeden Tag findet eine neue Ratte zufällig diese Müllhalde. Wie viele Ratten leben nach einem Jahr (356 Tage) auf der Müllhalde?
Aufgabe 3: Ein wildes Tier findet nach einem Monat (Aufgabe 1) die Müllhalde der Ratten & frisst jeden Tag 5 der Ratten. Wie viele Ratten sind nach einem Jahr (356 Tage) noch auf der Müllhalde?
Würde mich über hilfreiche Antworten/Lösungen freuen, denn mir fehlt ehrlich gesagt - jeder Lösungsansatz. :D
LG - Hanna
2 Antworten
Ich glaube, ein Ansatz für den ersten Teil ist auch schon ausreichend.
Erstmal ohne Sterberate:
Nach einem Tag (x=1) wächst der Bestand um 4%:
15 * 1,04
Nach zwei Tagen (x=2)
15 * 1,04 * 1,04 (oder 15 * 1,04^x)
Nach 3 Tagen (x=3)
15 * 1,04 * 1,04 * 1,04 (oder 15 * 1,04^x)
Wenn die Sterberate dazu kommt, aus 1,04^x wird dann (1,04 * 0,9975)^x
Den Rest bekommst du schon hin :)
Danke <3
Eine Frage bleibt - ist es falsch N(t) = N0 * a^t anzuwenden?
15 * 1,0375^30 zu rechnen?
Das macht doch irgendwo auch Sinn oder? :D
//
1 + p/100
= 1 + (4 - 2,5) / 100
= 1,0375
//
Das ist grad nicht passiert oder :D
Shit, danke wär mir echt nicht aufgefallen!
danke
Ich denke, dass es sich hierbei eher um Zahlenfolgen handelt, weil aufgabe 2&3 sind ja aufgaben von dem Typ Zinseszins mit Taschengeld, was ich nie auf dem Gymnasium gesehen habe. Die Aufgaben eignen sich auch super fürs programmieren.
1)a(n+1)=a(n)*1.0375
a(0)=15
2)a(n+1)=a(n)*1.0375+1
a(0)=15
3)a(n+1)=a(n)*1.0375 -5
a(30)= (siehe 1))
Ok langsam kommt Klarheit :D
Danke dir, aber noch ne Frage - Für was steht hier denn a(n+1) = ...
Kann man das nicht direkt für N(t) schreiben, sodass ich mein Ergebnis direkt "ablesen kann"?
Wenn du weißt wie das geht, würde ich mich auf jeden Fall freuen, wenn du es mir erklären könntest.
Btw wie kommst du auf 1.0375? :)
Grüße
a(n+1) ist eine rekursive Rechenvorschrift, da gibt es nen startwert a(0) und mithilfe der Rechenvorschrift kannst du a(1),a(2),...,a(356),...a(n) auchsrechnen, jedoch brauchst du immer den vorherigen Wert, weshalb das ganze auch rekursiv genannt wird.(-> Google für mehr infos)
Ja es gibt auch ne Funktion (hier: explizite Rechenvorschrift) dafür. Wenn du a(n+1) ... in wolframalpha eingibst, kommt f(n)=(5/3)*(5^(2-n)*(83/16)^n-16) heraus.
1.0375: jeden tag gibt es einen zuwachs von 4% und gleichzeitig ne Sterberate von 0.25% heißt +4%-0.25%=3.75% tatsächlicher Zuwachs. Wäre der Zuwachs 0% müsste man den Anfangswert mit 1 (100%) für jeden Schritt multiplizieren, da sich die Population nicht verändert. Hier ist der Zuwachs 3.75% und so kommt 1.0375 zustande
Hier noch die Lösungen: (Punkt statt Komma, englische Schreibweise)
1) 45.26
2) 512,264,501
3) 0 (sehr schnell)
MfG
Patrick
da bist du um eine Nachkommastelle verrutsch: 4-0,25 (nicht 4-2,5), aber sonst ist es korrekt gekürzt :)