Wie kann ich den Unfang eines Kreises mithilfe von Trigonometrie herleiten?
Ich weiß nicht wie ich das im Internet finden soll, weil finden tu ich dazu nichts.
4 Antworten
Den Umfang eines Kreises kann man auf verschiedene Weisen herleiten, aber Trigonometrie wird dabei normalerweise nicht direkt verwendet. Der Umfang eines Kreises wird üblicherweise mit der Formel \(U = 2 \pi r\) berechnet, wobei \(r\) der Radius ist.
Wenn du jedoch tiefer in die Mathematik einsteigen möchtest, gibt es eine Herleitung unter Verwendung von Winkelfunktionen im Einheitskreis. Hier ist eine allgemeine Idee:
Betrachte einen Punkt \((\cos \theta, \sin \theta)\) auf dem Einheitskreis (Radius \(r=1\)) bei einem Winkel \(\theta\). Der Bogen von \(0\) bis \(\theta\) entspricht der Länge des Kreisbogens auf dem Einheitskreis.
Die Koordinaten \((\cos \theta, \sin \theta)\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Ursprung \((0,0)\) und dem Punkt auf dem Einheitskreis. Der Kosinus dieses Winkels \(\theta\) ist die x-Koordinate, also \(\cos \theta\). Der Sinus ist die y-Koordinate, also \(\sin \theta\).
Die Länge des Kreisbogens \(s\) ist der Bogenmaß \(\theta\) mal der Radius \(r=1\), also \(s = \theta \cdot 1 = \theta\).
Jetzt kannst du den Satz des Pythagoras auf das Dreieck anwenden:
\[ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \]
Da \(s = \theta\), erhältst du \(s^2 = \theta^2\).
Wenn du diese Gleichung nach \(\theta\) auflöst und dann den Umfang \(U\) eines Kreises mit Radius \(r\) als \(U = 2\pi r\) betrachtest, siehst du, dass dies mit dem Bogenmaß \(\theta\) korreliert. Dieser Ansatz führt jedoch letztendlich auf die bekannte Formel \(U = 2\pi r\).
Das kommt darauf an, was du gegeben hast.
Mit Hilfe von Trigonometrie? Das ist mir nicht bekannt.
Die Länge eijner Kurve kann man als Integral ausrechnen.
du unterteilst den kreis in zuerst grosse und dann immer kleinere dreiecke und näherst dich dadurch der rundung immer mehr an ;
ich glaube zu wissen , dass das die frühen mathematiker auch so gemacht haben , um die formel zu erstellen