Wie kann ich das vereinfachen?
sum(k=0 bis n)[(-1)/ sqrt (k+1)* sqrt(n-k+1)].
Am liebsten wäre es mir das Summenzeichen wegzubekommen.
3 Antworten
Zunächst einmal die Frage, ob du tatsächlich
sum(k=0 bis n)[(-1)/ sqrt (k+1)* sqrt(n-k+1)]
meinst, also...
Denn das hast du da aufgeschrieben. Ich sehe da nicht, wie sich das wirklich weiter vereinfachen lässt, insbesondere so, dass man kein Summenzeichen mehr dastehen hat. Daher meine zweite Rückfrage...
Wozu brauchst du das denn? (Oftmals entstehen solche Fragen, da jemand etwas machen möchte, was sich anders einfacher lösen lässt.)
Kann es sein, dass bei dir noch ein Exponent n bei (-1) fehlt? Also letztendlich...
sum(k=0 bis n)[(-1)ⁿ/(sqrt(k+1) * sqrt(n - k + 1))]
... statt...
sum(k=0 bis n)[(-1)/ sqrt (k+1)* sqrt(n-k+1)]
... gemeint ist? Das wären dann nämlich die Koeffizienten des Cauchy-Produkts der Reihe...
sum(n=0 bis ∞)[(-1)ⁿ/sqrt (n + 1)]
... mit sich selbst. Das ist dann ein typisches Beispiel dafür, dass Cauchy-Produkte von konvergenten Reihen nicht unbedingt wieder konvergieren. (Nur bei absolut konvergenten Reihen kann man davon ausgehen, dass das Cauchy-Produkt wieder konvergiert und der Wert des Cauchy-Produkts gleich dem Produkt der Reihenwerte ist! Das liegt im Grunde daran, dass man bedingt konvergente Reihen nicht einfach so umordnen kann, ohne den Reihenwert zu verändern.)
Kann es dementsprechend auch sein, dass es sich um eine Aufgabe handelt, bei der du gar nicht die Koeffizienten vereinfacht brauchst, sondern bei der du zeigen sollst, dass das Cauchy-Produkt in diesem Fall divergiert? Dann siehe beispielsweise...
https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Produktformel#Eine_divergente_Reihe
Da geht es um ebendieses Beispiel.
ja es ist cn und genau dieses beispiel.ich dachte , man könne es noch weiter vereinfachen, da reihen mit summe innendrin etwas kompliziert mir erschienen
Nein. Zumindest sehe ich, wie bereits geschrieben, nicht, wie man das noch wirklich vereinfachen könnte.
Aber man muss das hier auch gar nicht vereinfachen. Es reicht eine Abschätzung nach unten, und die Abschätzung kann man dann vereinfachen.
beim abschätzen tu ich mir immer schwer. Wenn die innere Summe zb divergieren würde, dann auch die äußere?
Ja. Wobei es nicht nur so ist, sondern es bereits ausreicht, wenn die innere Summe keine Nullfolge ist.
Wenn cₙ keine Nullfolge ist, so divergiert die entsprechende Reihe sum[n = 0 bis ∞]. Und wenn cₙ selbst divergieren sollte, so ist cₙ insbesondere keine Nullfolge, sodass dann auch die Reihe sum[n = 0 bis ∞] divergiert.
also reicht es, wenn ich alleine zeige, dass 1/sqrt(k+1)*sqrt(n-k+1) keine Nullfolge ist? Leider hatten wir die im Wikipedia beschriebene Lösung noch nicht, deshalb suche ich eine Alternative Lösung. das n stört leider irgendwie, sonst ginge es vllt auch mut vollständiger induktion
also reicht es, wenn ich alleine zeige, dass 1/sqrt(k+1)*sqrt(n-k+1) keine Nullfolge ist?
Ja, genau. Du kannst das auch anders abschätzen, wenn du die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel nicht zur Verfügung hast. Beispielsweise so...
Vielen Dank erst einmal für die ausführliche Lösung und die Mühe, die du dir deshalb machst! Die Lösung macht absolut Sinn, denn man zeig ja letztlich , dass die innere Reihe nicht konvergiert, oder größer als 1 ist, kann ja die gesamte Reihe nicht konvergieren, aber man muss selbst drauf kommen was man beim abschätzen streichen soll, und das k durch das n ersetzen soll und das ist häufig mein Problem bei solchen Abschätzungsaufgaben...
Also am Ende habe ich eine Abschätzung die unabhängig von der "Laufvariable" k ist und deshalb kann ich unabhängig vom summenzeichen schreiben?
das zweite sqrt(n-k+1) muss auch unterhalb des bruches sein
Mittlerweile scheint ja zumindest die Fragestellung geklärt. Wenn ich mir das so zusammenreime willst (musst?) du die Reihe
sum(k=n bis unendlich) (-z)^n / sqrt (n+1)
mit sich selber multiplizieren und kommst dann auf die Darstellung
sum(k=0 bis n) (-1)^n / [ sqrt (k+1) * sqrt(n-k+1) ]
für die Koeffizienten. Ich habe wenig Hoffnung, dass es dafür eine geschlossene Darstellung gibt.
Ich habe jetzt keine große Lust das durchzurechnen, aber überlege mal wie sich k+1 und n-k+1 für k = 0 ... n verhalten. Da sollte dir was auffallen. fehelt übrigens im Zähler nicht ein ^k?
und ich muss das cauchyprodukt ausrechnen, und das ist das innere summenzeichen neben dem n=0 bis unendlich. Deshalb möchte ich es wegbekommen