Wie kann ich aus dieser Linearfaktorzerlegung die Nullstellen ermitteln?
Funktionsgleichung 6. Grades in Linearfaktoren zerlegt. Weiß jemand die Nullstellen?
6 Antworten
Stehen doch schon dort. Die Nullstellen hast du, wenn für x der linke Term Null wird. Wenn x Null ist steht dort 0*... = 0. Wenn dort x=2 steht hast du x*(2-2)*... = 0. Wenn dort x=-1 dort steht hast du x*(x-2)^3*0=0.
Der Term ist quasi schon in seine Linerarfaktoren zerlegt. Die Potenz gibt dir an wie häufig die jeweilige Nullstelle vorkommt. Einfache Nullstelle wäre ein einfacher Durchgang der Funktion an diesem Punkt. Doppelte Nullstelle wäre ein Extrema (z. B. Maximum oder Minumum ohne dass die x-Achse durchbrochen wird) usw.
x=0 einfach, x=2 dreifach und x=-1 zweifach.
Ein Produkt ist immer dann Null, wenn mindestes ein Faktor Null ist.
x (x-2)³ (x+1)² = 0
Das lässt sich also zerlegen in
x = 0 und (x-2)³ = 0 und (x+1)² = 0
Daraus folgt dann
x = 0 und x = 2 und x = -1
Bei x=0, x= 2 und x=-1.
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Was muss gelten? Der Ausdruck soll 0 sein. Wann ist der Ausdruck 0? Wenn einer der Faktoren 0 ist.
Das geht einfach im Kopf.
0 = x * (x - 2)³ * (x + 1)²
Die Gleichung wird erfüllt für:
x = 0
x - 2 = 0
x + 1 = 0