Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, wenn man schon 100 mal keine 6 gewürfelt hat?
Hallo,
die Wahrscheinlichkeit, mit einem gewöhnlichen Würfel eine 6 zu würfeln, ist 1/6, keine Frage. Da sich der Würfel ja nicht ändert, müsste diese Einzelwahrscheinlichkeit ja auch bei jedem weiteren Wurf gleich bleiben. Nicht umsonst kann man soetwas ja auch als einfache Bernoulli-Kette auffassen.
Dennoch gibt einem der Menschenverstand das Gefühl, dass mit jedem Wurf, der mit einer anderen Augenzahl ausgeht, die Wahrscheinlichkeit steigt, beim nächsten "endlich" eine 6 zu würfeln.
Sagen wir also, man hat 100 mal keine 6 gewürfelt. Ist die Wahrscheinlichkeit, beim 101. Wurf nun die 6 zu würfeln, immer noch 1/6, oder tatsächlich größer, und wenn letzteres, wie wäre das mathematisch zu begründen?
Ich bin sicher, ich stehe grad nur irgendwie auf dem Schlauch. Erleuchtet mich! (:
20 Antworten
Die Wahrscheinlichkeit bleibt gleich 1/6.
Ganz einfach zu verstehen: Nach 100 mal würfelst Du noch einmal. Es gibt jetzt sechs verschiedene Möglichkeiten, nämlich sechs verschiedene Ketten bestehend aus 101 Elementen, die ersten 100 sind fix, das letzte ist noch variabel. Welche Wahrscheinlichkeit hat jede Kette? Richtig - 1/6
Das Problem sieht man im Roulette häufig: Es ist schon fünf mal rot gekommen, jetzt muss schwarz kommen. Falsch!
Die Kette rot-rot-rot-rot-rot-schwarz hat exakt dieselbe Wahrscheinlichkeit wie rot-rot-rot-rot-rot-rot!
Nur: Die Kette mit fünfmal rot und einmal schwarz darin hat eine höhere Wahrscheinlichkeit als sechs mal rot, da es mehrere Ketten mit beliebiger Stelle schwarz gibt.
In Deinem Beispiel ist die Stelle in der Kette jedoch fix, so dass sich die Wahrscheinlichkeit nicht erhöht.
"Unabhängiges Ereignis" ist hier das Stichwort!
Dem Würfel ist es völlig egal, was bislang gelaufen ist. Er hat kein Gedächtnis ;-)
Die Voraussetzungen sind bei jedem Wurf IMMER die selben.
Jeder einzelne Wurf ist ein unabhängiges Ereignis und die Wahrscheinlichkeit für die 6 beträgt IMMER 1/6
Es gibt noch eine andere Antwort, die wäre aber erheblich komplizierter:
Sagen wir mal, du würdest testen wollen, ob der Würfe ordentlich ist, also dass alle Seiten gleichwahrscheinlich fallen.
Dann könntest du nun die Ergebnisse deines Serienexperiments nehmen und einen Hypothesentest durchführen, an dessen Ende herauskommt, mit welcher Wahrscheinlichkeit du davon ausgehen darfst, dass der Würfel neutral ist, unter der Berücksichtigung deiner Ergebnisse.
Beachte aber, dass das eine andere Frage ist.
Ja, mit Signifikanztests hatte die Frage ja so gesehen nix zu tun. Danke trotzdem für die Erklärung.
Eine dritte Variante, wie du sie z.B. in einfachen K.I.'s einsetzen kannst, sind Bayes-Wahrscheinlichkeiten, eine besondere Interpretation der bedingten Wahrscheinlichkeiten.
In diesem Ansatz interpretierst du die W. als ein "Maß für die Überzeugung, dass ein bestimmtes Ergebnis eines Zufallsexperiments eintritt".
Sagen wir mal, am Anfang deines Experimentes gehst du a priori davon aus das der Würfel ideal ist. also jede Zahl hat die W. 1/6.
Mit jedem Wurf "lernst" du aber nun etwas darüber, ob die Zahl tatsächlich gekommen ist oder nicht und gibst dann die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür an, ob im nächsten Wurf eine 6 kommen soll oder nicht.
Und tatsächlich: wenn du nach hundert Würfen nicht eine 6 hattest, dann ist die W., dass beim 101 Wurf die 6 kommt praktisch null, da der Würfel mit einer sehr hohen W. nicht ideal ist.
Das wird bei dem "idealisierten" Ansatz oft vergessen ....
Guckst du mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Bayesscher_Wahrscheinlichkeitsbegriff
Interessante Betrachtungsweise. Mir ging es jedoch um den Fall, dass das Wissen um die Idealität des Würfels gegeben ist und man tatsächlich von dem (äußerst unwahrscheinlichen, jedoch nicht unmöglichen) Fall ausgeht, dass 100 mal keine 6 kam.
Die Wahrscheinlichkeit nach dem hundertsten, tausendsten mal eine Sechs zu würfeln ist genaus groß wie nach dem ersten mal, da sich das Experiment, der Würfelwurf, ja nicht ändert.
Und: "der gesunde Menschenverstand" sagt dir bei Wahrscheinlichkeiten und Statistiken leider garnix, da das etwas ist, was Menschen NICHT instinktiv können. Da musst du immer kalt-logisch rechnen, auch wenn's seltsam erscheint!
Okay, gut. Das ist mir immer noch lieber, als für solche Fälle wieder andere Formeln anwenden zu müssen.