Wie funktioniert die quadratische Ergänzung?
Meine Lehrerin hat uns mal wieder einfach so Aufgaben aufgegeben, die wir noch nie erklärt bekommen haben.
Dieses Mal ist es diese:
x^2 + 6x + ? =(x + 3)^2
Wie funktioniert das und wie bekomme ich raus, was an der Stelle von dem Fragezeichen stehen muss?
Die späteren Aufgaben werden dann wiederum um einiges schwerer.
3 Antworten
x^2 + 6x + ? =(x + 3)^2
Entscheidend bei der quadratischen Ergänzung ist ein Blick auf das "mittlere Glied", also das in dem das x vorkommt.
Gemäß den binomischen Formeln ist das der Ausdruck 2ab, in obigem Beispiel also das 6x.
Am Vorzeichen erkennt man schon mal, ob die quadratische Klammer nach dem Schema (a + b) oder (a - b) aufgebaut ist. Hier musses (a + b) sein, weil 6x positiv ist.
Dann muss man von der Zahl, die vor dem x steht die Hälfte nehmen, um das b zu erhalten. Das wäre in dem Fall 3.
Im Beispiel wäre 6x = 2ab. a steht für das x und die Zahl vor dem x wäre 2b. Also ist die Hälfte der Zahl = 6/2 = 3.
Die anderen Aufgaben sind entsprechend leicht zu lösen:
b) 2ab = +14x; also ist b = +7
c) 2ab = -8x; also ist b = -4
d) 2ab = -5x; also ist b = -2,5 (-5/2)
e) 2ab = +x; also ist b = +1/2 (+0,5)
entscheidend sind mal nur die Zahl , mal Vorzeichen und Zahl
die 9 aus (6/2)² = 3*3 = 9
die 49 ebenso
das erste Kästchen hat ein Minus wegen -8x , dann wieder (8/2)² = 16
ebenso , aber 6.25
Achtung , vor dem +x steht eine 1 , also 1*x , also kommt hier (1/2)² = 0.25 hin
Binomische Formeln anwenden. es gibt 3 davon
a²+2ab+b² = (a+b)²
a²-2ab+b² = (a-b)²
a²-b²= (a+b)(a-b)
Deine obige ist klar: a =x, b=3 => ? = 3² = 9.
Anmerkung: Bei Aufgabe 13 ist a immer x und du musst eigentlich nur b ausrechnen. b ist der halbe Faktor vor der Zahl vor dem mittleren x. Bei e wäre das ein halbes mal 1 also 0,5. 0,5² = 0,25.
Quadratische Ergänzung heisst dann aber eigentlich mehr. Du musst das was du ergänzt auf beiden Seiten wieder abziehen. Also im ersten Beispiel:
Steht irgendwo: x² + 6x = 0, dann wird daraus x² + 6x + 9 = 9 => (x+3)²+9 = 9