Quadratische Ergänzung - Anwendung?
Hallo, mir ist durchaus bewusst, dass man solchen Kram nicht hier fragen sollte. Dennoch brauche ich Hilfe bei der Aufgabe (Bild) Aufgabe 2.
Bitte keine dumme. Kommentare
4 Antworten
Die Fläche eines Rechtecks berechnet man mit
A = a*b
Sie hat 11 m Zaun, also:
a + b = 11
a + b = 11 umformen nach a = ... oder b =... und in A = a * b einsetzen.
a = 11- b oder b = 11 - a
Einsetzen ergibt:
A = a*(11 - a)
oder
A = (11 - b)*b
Wenn man das ausrechnet erhält man eine quadratische Funktion, diese soll maximal werden, also Maximum der Fkt. bestimmen.
.
Aufgabenteil b im Prinzip gleich, nur dass es 2a + 2b - 3 = 11 heißt.
a)
Der Umfang ist 11=a+b, der Flächeninhalt ist A=a*b.
Für welches a und b ist A maximal?
Dafür brauchst du deine Zielfunktion A(b).
Stelle 11=a+b nach a um und erhalte a=11-b und setze das für a ein, so ergibt sich die Zielfunktion:
A(b)=(11-b)*b
A(b)=-b²+11b
Bilde die Ableitung um den Hochpunkt dieser Funktion zu ermitteln.
A'(b)=-2b+11
notwendige Bedingung für relativen Hochpunkt: A'(b)=0
0=-2b+11
2b=11
b=5,5
hinreichende Bedingung für relativen Hochpunkt: A'(b)=0 und A''(b)<0
A''(b)=-2
A''(b)<0
b ist 5,5 und somit ist a=11-5,5=5,5
Der Platz ist für ein Quadrat am größten, nämlich A=5,5*5,5=30,25m².
b)
Ist die Mauer nur 3 Meter lang, ist der Umfang 11=2a+2b+-3.
Der Flächeninhalt ist A=a*b
Stelle den Umfang wieder um und du hast 2b=14-2a => b=7-a
Setze das in deine Zielfunktion A(a) ein und erhalte A(a)=a*(7-a)
Stelle das um und erhalte
A(a)=-a²+7a
A'(a)=-2a+7
A''(a)=-2
Hochpunkt bei
0=-2a+7
2a=7
a=3,5
Also ist a=3,5, a-3=0,5 und b=7.
Der Flächeninhalt beträgt dann A=3,5*7=24,5m².
Alle Angaben sind ohne Gewähr.
Nebenbedingung: x+y = 11
Hauptbed. x•y (max)
Nebenbedingung nach zB x auflösen und in Haupbed. einstzen;
ableiten oder Scheitelpunkt ermitteln
usw
x=11-y
einsetzen
(11-y)•y
=
-y²+11y
-(y² - 11y)
Scheitelform mit quadratischer Ergänzung erstellen
-(y-5,5)² + 5,5²
S(5,5 ; 5,5²)
x=5,5
y=5,5
max Fläche = 5,5²