Wie geht die Quadratische Ergänzung?

 - (Schule, Mathe, quadratische Ergänzung)

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8 Antworten

binomische Formel (x+b)^2=x^2+2*b*x+b^2

(x-b)^2=x^2-2*b*x+b^2

a) x^2+4*x+2^2 hier 2*b=4 ergibt b=4/2=2 und b^2=2^2=4

b) x^2-6*x+3^2 hier 2*b=6 ergibt b=6/2=3 und b^2=3^2=9

d) 4*d^2-4*d+.. dividiert durch 4

d^2-1*d+0,5^2 hier 2*b=1 ergibt b=1/2=0,5 und b^2=0,5^2

Beispiel . f(x)=1*x^2+2*x+3 hier die 1 ausklammern

f(x)=1*(x^2+2*x)+3 binomische Formel (x+b)^2=x^2+2*b+b^2

2*b=2 ergibt b=2/2=1 und b^2=1^2=1

f(x)=1*(x^2+2*x+1^2-1^2)+3 nun die - 1^2 ausklammern

f(x)=1*x^2+1*2*x+1*1^2-1*1^2+3 nun wieder die 1 ausklammern

f(x)=1*(x^2+2*x+1^2)- 1^2+3 binomische Formel anwenden

f(x)=1*(x+1)^2+2

Hinweis: der Ausdruck +1^2 - 1^2=0 ist die "quadratische Ergänzung"

Die Gleichung wird dadurch nur umgewandelt und nicht verändert.

Binomische Formeln:

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a-b)²=a²-2ab+b²

(a+b)(a-b)=a²-b²

Aufgabe a) x²+4x+? deutet auf die erste binomische Formel hin.

a ist hierbei x und 2ab ist 4x, daraus ergibt sich b=4x/(2x)=2

Ergänzt: x"+4x+2²=x²+4x+4=(x+2)²

Für die Quadratische Ergänzung brauchst du die Stichwörter
Halbieren - Quadrieren - Ergänzen

Gewöhnlich braucht man es, wenn vorne ein x² steht, aber es funktioniert auch mit anderen Variablen.

x² + 8x + ?

Du halbierst die Zahl vor dem x ...................... 4
Du quadrierst diese Zahl ................................ 4² = 16 ........... Die 4 ist wichtig!
Du ergänzt +4² in deinem Term, machst eine Klammer drum herum
und subtrahierst den gleichen Wert hinter der Klammer. Es soll ja alles gleich bleiben!

(x² + 8x + 4²) - 16

Warum lässt man am besten 4² so stehen?
Der nächste Schritt ist die Bildung des Binoms. Und da brauchst du die 4.
Du benötigst auch nicht mehr als das x und die 4.

(x + 4)² - 16

Das Rechenzeichen richtet sich nach dem Mittelglied. Daher bei Minus:

- 12x + ?

Dies ist die Lösung (wieder mit Halbieren - Quadrieren - Ergänzen):

(x² - 12x + 6²) - 16 = (x - 6)² - 36

Versuch erst mal, das zu verstehen.
Wenn du es hast, erkläre ich dir, was passiert, wenn vor dem x² noch eine Zahl steht.
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Direkt darunter steht doch schon ein Beispiel. Einfach mal etwas weiter schauen. ;)

Bei a) müsste man zum Beispiel +2² -2² ergänzen.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Mathematik

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