Wie findet man Schnitt und Retraktion von Funktionen heraus?

Wir hatten noch nie ein Beispiel dazu und es kam dann plötzlich an der Klausur dran. Die Aufgabe war: Es gibt eine Abbildung von R^3 —> R^2, (x,y,z) |—> (x+2y,z) gibt es eine Retraktion oder einen Schnitt?

Ich konnte es nicht lösen und wusste auch nicjt wie man es angeht. Könnte mir jemand vielleicht erklären, wie man diese Aufgabe löst oder zumindest erklären wie allgemein Schnitt und Retraktionen herausgefunden werden könne?

Answer 1

[aperfect10]

Du brauchst nur

$f\circ g\text{ und }g\circ f$ berechnen und prüfen, ob sich die jeweilige Identitätsabbildung in V bzw. W ergibt.

Sagen wir Deine gegebene Funktion heißt f.

Zum Schnitt:

Gibt es eine Funktion

$g: \R^2 \to \R^3$

$g(x,y) = (g_1(x,y),g_2(x,y),g_3(x,y))$ sodass gilt

$f(g_1(x,y),g_2(x,y), g_3(x,y)) = (g_1(x,y)+2g_2(x,y), g_3(x,y)) = (x,y)$ Jetzt musst Du

$g_1, g_2, g_3: \R^2 \to \R$ bestimmen.

Comments

[nevermind511]

wie berechnet man das?

[aperfect10]

@nevermind511

Hab meine Antwort nochmal bearbeitet.

Answer 2

[eterneladam]

Eine Retraktion dürfte es nicht geben, denn wie willst du die zuvor verdichteten 2 Dimensionen von W auf dem Rückweg wieder auf die 3 Dimensionen von V aufblasen? Hier das Problem in Matrixschreibweise,

https://www.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7Ba11%2Ca12%7D+%2C+%7Ba21%2Ca22%7D%2C+%7Ba31%2Ca32%7D+%7D+%7B+%7B1%2C2%2C0%7D+%2C+%7B0%2C0%2C1%7D+%7D++%3D+%7B+%7B1%2C0%2C0%7D+%2C+%7B0%2C1%2C0%7D%2C+%7B0%2C0%2C1%7D+%7D

Andersrum stehen die Chancen besser,

https://www.wolframalpha.com/input?i=%7B+%7B1%2C2%2C0%7D+%2C+%7B0%2C0%2C1%7D+%7D+%7B+%7Ba11%2Ca12%7D+%2C+%7Ba21%2Ca22%7D%2C+%7Ba31%2Ca32%7D+%7D+%3D+%7B+%7B1%2C0%7D+%2C+%7B0%2C1%7D+%7D

Der Wolfram sagt zwar "no solution exists", irgendwie liest er das mit den Indizes nicht, aber ich denke, man kann die Koeffizienten aij leicht passend einstellen.