Wie finde ich einen geschlossenen Ausdruck für diese Summe?

Mein Ansatz war die Summe in 2 Teilsummen mit jeweils k=1 umzuformen, um mit dem "Kleinen Gauß" das Summenzeichen zu entfernen, jedoch komm ich nicht weiter damit. Hat jemand einen Tipp?

Answer 1

[gogogo]

Du könntest immer zwei Glieder zusammenfassen. Das erste ist vom Betrag her 5x so groß wie das andere, hat aber ein anderes Vorzeichen.

• k=3 + k=4 --> 1/5³ - 1/5⁴ = 4 / 5⁴
• k=5 + k=6 --> 1/5⁵ - 1/5⁶ = 4 / 5⁶
• ...
• k=39 + k=40

Answer 2

[KunXz]

Betrachte folgende geometrische Summe:

$\sum_{k\ =\ 0}^n\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{5^k}\ =\ \left(-1\right)\ \sum_{k\ =\ 0}^n\frac{\left(-1\right)^k}{5^k}\ =\ -\sum_{k\ =\ 0}^n\left(-\frac{1}{5}\right)^k$

für den Ausdruck rechts solltet ihr bereits eine geschlossene Formel kennen.

Nun lässt sich deine Summe wie folgt darstellen:

$\sum_{k\ =\ 3}^{40}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{5^k}\ =\ \sum_{k\ =\ 0}^{40}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{5^k}\ -\ \sum_{k=0}^2\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{5^k}$

verwende nun diese Formel um die beiden Summenzeichen ganz rechts zu berechnen (die zweite Summe im Term ganz rechts kannst du natürlich auch einfach von Hand berechnen)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematikstudium

Answer 3

[Willy1729]

Hallo,

wie gogogo bereits schrieb, kannst Du zwei Glieder immer zusammenfassen.

Das (-1)^(k+1) im Zähler sorgt dafür, daß das Vorzeichen ständig wechselt.

Du bekommst also 1/5^3-1/5^5+1/5^7-1/5^8+...1/5^39-1/5^40.

Klammerst Du bei jeder Differenz die erste Potenz aus, bekommst Du 1/5^3*(1-1/5) bis hin zu 1/5^39*(1-1/5).

In den Klammern taucht also jedesmal der Faktor 4/5 auf.

Du kannst die Summe also zusammenfassen zu (4/5)*(1/5^3+1/5^5+...+1/5^39)

Multiplizierst Du diese Summe mit 25, bekommst Du folgendes:

25*(4/5)*(1/5+1/5^3+...+1/5^37)

Sie gleicht der ersten bis auf das erste Glied 1/5 und das fehlende letzte Glied 1/5^39.

Ziehst Du davon die erste Summe ab, bekommst Du die 24fache Summe:

24sn=(4/5)*(1/5-1/5^39)

Also ist die Summenformel der Reihe:

(1/30)*(1/5-1/5^39)

Der Faktor 1/30 ist das Ergebnis der Division von 4/5 durch 24.

Die komplette Summe lautet für k=3 bis k=40~1/150.

Das ist auch der Grenzwert, denn für k gegen unendlich geht 1/5^39 gegen Null

und es bleibt (1/30)*(1/5).

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[gogogo]

Hier "1/5^3-1/5^5+1/5^7-1/5^8+...1/5^39-1/5^40" sind die am Anfang ein paar Exponenten durcheinander geraten.

Meine Berechnung: 1/5^3-1/5^4+1/5^5-1/5^6+...1/5^39-1/5^40

Danach sieht es wieder gut aus.

[Willy1729]

@gogogo

Stimmt, war teilweise schon in den nächsten Schritt gerutscht. Auf meinem Zettel war noch alles richtig. Die Summenformel stimmt aber.

[gogogo]

@Willy1729

Dachte ich mir. Liegt an der Aufgabenstellung.

[gauss58]

@gogogo

Die Summe 1/150 passt.

[Willy1729]

@gogogo

Nö. Lag daran, daß ich meine Aufzeichnungen aus Blödheit falsch übertragen hatte.