Wie bestimme ich die Funktionsgleichung?
Hey, der Titel sagt eigentlich schon alles. Ich komme hier nicht so ganz weiter bzw ich weiß nicht wie ich also erstes vorgehen müsste, um die Aufgabe zu lösen.
Danke im voraus:)
4 Antworten
Per Rekonstruktion kannst du die Funktionsgleichung ermitteln.
Dafür gehst du von folgender Ausgangsgleichung aus:
f(x) = ax^2 + bx + c (entspricht Normalform)
- Ableitung:
f'(x) = 2ax + b
Stammfunktion (Integration):
F(x) = (1/3)ax^3 + (1/2)bx^2 + cx
Dann nur noch alle gegebenen Informationen einsetzen. Eine Tabelle erweist sich da m.E. als hilfreich:
S(0|-1) => -1 = f(0) => -1 = a*0^2 + b*0 + c
f'(4) = 0 => 0 = 2a*4 + b
A[0;1] = -12 => -12 = F(1) - F(0) => -12 = ((1/3)a*1^3 + (1/2)b*1^2 + c*1)-((1/3)a*0^3 + (1/2)b*0^2 + c*0)
Über die drei Gleichungen kannst du dann die Parameter a, b und c für f(x) = ax^2 + bx + c ermitteln und einsetzen.
Um die Parabelgleichung (f(x)=ax²+bx+c) eindeutig bestimmen zu können, benötigst Du 3 Gleichungen.
Erstens kennst Du den Schnittpunkt mit der y-Achse, daraus ergibt sich sofort das c. Zweitens kennst Du die Stelle des Minimums (also die Steigung an dieser Stelle) und drittens ist der Flächeninhalt zwischen 0 und 1 im vierten Quadranten bekannt, d. h. hier kannst Du über das Integral eine Gleichung aufstellen, wobei Du hier etwas aufpassen musst: die Fläche befindet sich unter der x-Achse, d. h. es muss heißen: Integral von 0 bis 1 von f(x)=-12 ! Hier nun das Integral allgemein mit den Parametern a und b lösen (c kannst Du aus der ersten Bedingung direkt einsetzen), die Grenzen 0 und 1 einsetzen und das dann mit -12 gleichsetzen.
Die allgemeine Parabelgleichung ist y = ax² + bx + c.
Da für x = 0 der Wert y = -1 ist, gilt c = -1.
Die erste Ableitung muss für x = 4 den Wert y = 0 annehmen. Damit hat man eine Gleichung, in der a und b vorkommen. Es muss a > 0 sein, damit es sich wirklich um ein Minimum handelt.
Dann integriert man die Parabel von 0 bis 1. Das Integral muss -12 sein. (da y < 0 ist) Damit hat man eine zweite Gleichung für a und b.
Zum Schluss sollte man prüfen, ob die Parabel für das Intervall von 0 bis 1 wirklich im vierten Quadranten liegt.
Das neue, ungewöhnliche ist die dritte Bedingung , die man braucht.
Integral ist ( C lasse ich weg )
1/3 * ax³ + 1/2 * bx² + cx
von 0 bis 1 soll 12 sein
(der 0 - Teil fällt gottseidank weg)
1/3 * a1³ + 1/2 * b1² + c*1 = 12
1/3 a + 1/2 b + c = 12 .... (3)
.
die anderen beiden sind
f(0) = -1............c = -1 folgt sogleich . Praktisch
f'(4) = 0
.
Drei Glg , drei Unbekannte am Anfang , aber c = -1 schon da , nur noch 2 Glg.