Wie bestimme ich den Grenzwert von dieser Folge?

a_n=n^n/(2n)! . Wie genau kann ich hier geschickt mit dem Vergleichskriterium abschätzen?

Answer 1

[mihisu]

Man kann...

$\left(2n\right)!=\underbrace{1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n}_{=n!}\cdot \underbrace{\underbrace{\left(n+1\right)}_{\geq n}\cdot \underbrace{\left(n+2\right)}_{\geq n}\cdot \ldots\cdot \underbrace{2n}_{\geq n}}_{\geq n^n}\geq n!\cdot n^n$

... abschätzen. Damit erhält man dann...

$a_{n}=\frac{n^n}{\left(2n\right)!}\leq \frac{n^n}{n!\cdot n^n}=\frac{1}{n!}\leq \frac{1}{n}\xrightarrow {n\to \infty}0$

..., womit man (da andererseits auch aₙ ≥ 0 für alle n ist) dann...

$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$

... erhält.