Wie berechnet man bei einer Funktion 4. Grades ohne Polynomdivision die Nullstellen?

5 Antworten

Das geht nicht bei jedem Polynom 4. Grades so einfach wie bei diesem Beispiel.

Es ist 1/4x^4-x²+1 = (1/2 x²)² - 2 * 1/2 x² * 1 + 1² = (1/2 x² - 1)².

Weiter ist 1/2 x² - 1 = (1 / sqrt(2) x)² - 1² = (1 / sqrt(2) x - 1)(1 / sqrt(2) x +1).

Also ist

1/4x^4-x²+1 = (1 / sqrt(2) x - 1)² (1 / sqrt(2) x +1)².

Dann sind die Nullstellen von f mit f(x)=1/4x^4-x^2+1  gegeben durch

x1 = -sqrt(2) und x2 = sqrt(2).

ok vielen dank hast mir sehr geholfen.

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In deinem Fall geht das durch Substitution -->

f(x) = (1 / 4) * x ^ 4 - x ^ 2 + 1

Wir substituieren z = x ^ 2 und erhalten -->

f(z) = (1 / 4) * z ^ 2 - z + 1

Davon berechnet man nun die Nullstellen -->

(1 / 4) * z ^ 2 - z + 1 = 0 | : (1 / 4)

z ^ 2 - 4 * z + 4 = 0

Hier wendet man die pq-Formel an -->

z ^ 2 + p * z + q = 0

z 1, 2 = - (p / 2) -/+ √ ( (p / 2) ^ 2 - q )

p = - 4

q = + 4

p / 2 = - 4 / 2 = - 2

(p / 2) ^ 2 = (-2) ^ 2 = 4

z _ 1 = -(-2) - √( 4 - 4 ) = +2

z _ 2 = -(-2) + √( 4 - 4 ) = +2

Da z = x ^ 2 gilt, deshalb gilt x = -/+ √(z)

z _ 1 = + 2

x _ 1 = -√(2)

x _ 2 = +√(2)

z _ 2 = + 2

x _ 3 = -√(2)

x _ 4 = +√(2)

Bis zum 1. Semester (Studium) stellen Lehrer nur Fragen von einfachen Spezialfällen, wo man vereinfachen kann (Substitution, leicht raten, Binomische Formeln usw.)

Sobald Du nur geradzahlige Potenzen hast (wie bei Dir hier) funktioniert Substitution immer -> dann pq-Formel...

Dann kommen Cardanische Formeln (auch noch viele Sonderfälle) und erst später lernt man, dass es analog zur pq-Formel auch für Polynome 4. Grades exakte Lösungsformeln gibt (ohne Umstellen einfach einsetzen):

Engl. Wikipedia "Quartic_function" (oft komplexe Zwischenergebnisse).

Unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php  

werden diese 2 Lösungswege mit Zwischenergebnisse vorgerechnet.

Faktoren Deines Beispiels sind: 0, 0, 0.25, 0, -1, 0, 1


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