Wie berechnet man bei einer Funktion 4. Grades ohne Polynomdivision die Nullstellen?
Ich hatte vor 2 Jahren in der Schule einen Lehrer, der uns keine Polynomdivision beibringen wollte und trotzdem konnten wir bei ihm mit irgendeiner Methode die NS von Funktionen 4. Grades herausfinden. z.B. diese Funktion: f(x)=1/4x^4-x^2+1 zuerst muss man sie ja mit 0 gleichsetzen (an soviel erinnere ich mich noch^^) f(x)=0 0=1/4x^4-x^2+1
Aber wie stellt man das jetzt ohne Polynomdivision um?
Ich hab schon im Internet nach mehr Lösungen gesucht, jedoch keine gefunden außer eben Polynomdivision oder Verweise auf diese WIkipediaseite, die ich jedoch nicht verstehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung
Ich hoffe irgendjemand kann mir dabei helfen und am besten mir das am gegebene BEispiel oder einem ähnlichen zeigen.
5 Antworten
In deinem Fall geht das durch Substitution -->
f(x) = (1 / 4) * x ^ 4 - x ^ 2 + 1
Wir substituieren z = x ^ 2 und erhalten -->
f(z) = (1 / 4) * z ^ 2 - z + 1
Davon berechnet man nun die Nullstellen -->
(1 / 4) * z ^ 2 - z + 1 = 0 | : (1 / 4)
z ^ 2 - 4 * z + 4 = 0
Hier wendet man die pq-Formel an -->
z ^ 2 + p * z + q = 0
z 1, 2 = - (p / 2) -/+ √ ( (p / 2) ^ 2 - q )
p = - 4
q = + 4
p / 2 = - 4 / 2 = - 2
(p / 2) ^ 2 = (-2) ^ 2 = 4
z _ 1 = -(-2) - √( 4 - 4 ) = +2
z _ 2 = -(-2) + √( 4 - 4 ) = +2
Da z = x ^ 2 gilt, deshalb gilt x = -/+ √(z)
z _ 1 = + 2
x _ 1 = -√(2)
x _ 2 = +√(2)
z _ 2 = + 2
x _ 3 = -√(2)
x _ 4 = +√(2)
Das geht nicht bei jedem Polynom 4. Grades so einfach wie bei diesem Beispiel.
Es ist 1/4x^4-x²+1 = (1/2 x²)² - 2 * 1/2 x² * 1 + 1² = (1/2 x² - 1)².
Weiter ist 1/2 x² - 1 = (1 / sqrt(2) x)² - 1² = (1 / sqrt(2) x - 1)(1 / sqrt(2) x +1).
Also ist
1/4x^4-x²+1 = (1 / sqrt(2) x - 1)² (1 / sqrt(2) x +1)².
Dann sind die Nullstellen von f mit f(x)=1/4x^4-x^2+1 gegeben durch
x1 = -sqrt(2) und x2 = sqrt(2).
Bis zum 1. Semester (Studium) stellen Lehrer nur Fragen von einfachen Spezialfällen, wo man vereinfachen kann (Substitution, leicht raten, Binomische Formeln usw.)
Sobald Du nur geradzahlige Potenzen hast (wie bei Dir hier) funktioniert Substitution immer -> dann pq-Formel...
Dann kommen Cardanische Formeln (auch noch viele Sonderfälle) und erst später lernt man, dass es analog zur pq-Formel auch für Polynome 4. Grades exakte Lösungsformeln gibt (ohne Umstellen einfach einsetzen):
Engl. Wikipedia "Quartic_function" (oft komplexe Zwischenergebnisse).
Unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php
werden diese 2 Lösungswege mit Zwischenergebnisse vorgerechnet.
Faktoren Deines Beispiels sind: 0, 0, 0.25, 0, -1, 0, 1
Bei Funktionen mit nur graden exponenten kannst du für x^2 = t einsetzen und dann die nullstellen in abhängigkeit von t ausrechnen. Danach musst du dann x=sqrt(t) ausrechnen um alle x zu bekommen :)
Die Substitution x²=t ist natürlich auch eine Alternative. Allerdings kann man in dem betrachteten Fall schneller mit den binomischen Formeln rechnen, da der Term nach der 2. binomischen Formel faktorisiert werden kann.
¼x⁴ ‒ x² + 1 = ¼ (x⁴ ‒ 4x² + 4) = ¼ (x² - 2)² = 0, also x² = 2 und x = ± √2