Wie aus der Normalform einen Graphen Zeichnen?

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5 Antworten

Du musst x - Werte einsetzten und dann damit die y-Koordinate bestimmen.

Machen wir ein Beispiel.

Wir setzten in die Funktion y = x² + 3x - 4 die x-Koordinate x = 0 ein.

y = 0² + 3*0 - 4

y = - 4

Noch besser wenn man es so aufschreibt:

f(0) = -4

Man fängt aber immer mit y in der Schule an. Wenn ihr das mit f(x) bzw. hier f(0) noch nicht gemacht habt, dann schreibe einfach weiterhin y!

Das, was wir berechnet haben heißt jetzt, dass bei der x-Koordinate x = 0 der Graph die y-Koordinate y = -4 hat.

Im Bild siehst du das noch einmal gut. Dort schneidet der Graph genau die y-Achse bei y = -4.

Der Graph geht also durch den Punkt P( 0 | -4).

Genauso sollst du das weiter mit insgesamt 7 Werten machen, also noch 6 anderen.

Berechne also die y-Koordinate an der Stelle x = -3, -2, -1, 0, 1, 2 und 3.

Genau wie ich es oben vorgemacht habe. Die Zahlen die ich gerade aufgezählt habe einfach in die Funktion einsetzten und das ganze ausrechen.

Das, was dann rauskommt ist wie du siehst dann immer "y =", also die y-Koordinate.

Ich hoffe ich konnte das ganze verständlich erklären.

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Wenn du dann insgesamt 7 Punkte eingezeichnet hast kannst du die Parabel auch zeichnen. Dann ist das Nullstellen ablesen ein leichtes. In dem Bild siehst du das aber auch schon.

Die Nullstellen sind N( -4 | 0) und N1( 1 | 0).
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Falls du noch Fragen hast kannst du sie natürlich gerne stellen! :)

Liebe Grüße

TechnikSpezi


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Kommentar von Eskapismus
24.07.2016, 11:48

Vielen, vielen Dank für die ausführliche Antwort!! :)
Ich habe jetzt mal die anderen Zahlen in die Gleichung eingegeben, zum Beispiel -1

-1² + 3*-1-4 da kommt aber -8 raus und nicht -6, wie es laut deiner Zeichnung sein sollte :( was mache ich falsch? 

Bei den anderen Zahlen (-3,-2,-1 und 1,2,3) kommen auch ganz andere Zahlen raus..

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7 Wertepaare sind schon sehr viele.
Wenn man eine Schablone für die Normalparabel hat, geht es viel schneller.

1. Scheitelpunkt S bestimmen (Halbieren, Quadrieren):
http://dieter-online.de.tl/Quadratische-Erg.ae.nzung--k1-Technik-k2-.htm

Wem die quadratische Ergänzung zu umständlich ist, nimmt einfach die Vorzahl von x und halbiert sie mit umgedrehtem Vorzeichen! Das ist die x-Koordinate von S (hier -1,5). Das y dafür bekommt man aus der Funktionsgleichung.

2. Mit x = 0 den Schnittpunkt D mit der y-Achse bestimmen.

3. Schablone anlegen. Zeichnen. Fertig.

Hat man keine Schablone, zeichnet man sich hilfsweise eine senkrechte Symmetrieachse durch den Scheitelpunkt. Jeder Punkt, den man für eine Seite ausrechnet, kann auf der anderen Seite der Symmetrieachse gespiegelt werden. Man kann gleich mit dem Spiegeln von D anfangen.

Häufig reicht das bereits für eine Skizze. Eventuell rechnet man noch einen Punkt aus und spiegelt auch diesen.

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Du erhältst die Scheitelpunktform ganz einfach durch quadratisches Ergänzen:

y = x² + 3x - 4

1. Schritt: Welche binomische Formel?

Da wir den Ausdruck +3x vorfinden, verwenden wir die 1. Binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b² .

2. Schritt: Vergleich der Funktion mit der ausmultiplizierten binomischen Formel:

x² entspricht a² → a = x

3x entspricht 2ab → da a = x ist, muss 3 = 2b sein. Damit muss b = 1,5 sein.

b² muss demnach 1,5² = 2,25 sein.

3. Schritt: Quadratisch Ergänzen

Schreibe nun y = x² + 3x - 4 so, dass y = x² + 3x + 2,25 - 2,25 - 4

4. Schritt: Wende die binomische Formel rückwärts an:

y = (x² + 3x + 2,25) - 2,25 - 4 = (x + 1,5)² - 6,25

Damit bist du fertig!

Wenn du bereits die Ableitung kennengelernt hast, kannst du damit ganz einfach den Scheitelpunkt des Graphen bestimmen.

y' = 2x + 3

0 = 2x + 3

x = -1,5

y(-1,5) = -6,25

Daraus ergibt sich der Scheitel bei (-1,5/-6,25) und damit die Scheitelpunktform y = (x + 1,5)² - 6,25 .

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Kommentar von TechnikSpezi
24.07.2016, 14:42

Du bist da etwas zu weit gegangen.

Die Aufgabe lautete folgendermaßen:

Zeichnen Sie den Graphen mithilfe einer Wertetabelle mit 7 Wertepaaren, lesen sie die Nullstellen ab.

Das was ich dick markiert habe sagt ja alles. Mithilfe einer Wertetabelle. Dafür brauchst du hier keine Umformung oder quadratische Ergänzung und erst Recht keine Ableitung am Ende, die er garantiert noch nicht kennen gelernt hat. Wenn man sich mit Ableitungen beschäftigt, also in NRW in der EF (10. Klasse Gymnasium / 11. Klasse Gesamtschule), dann arbeitet man mit ganzrationalen Funkitonen und dementsprechend fast nie mit quadratischen Funktionen.

Er soll die Nullstellen ja nicht einmal berechnen, sondern ablesen.

Wie in meiner Antwort zu lesen muss man hier einfach nur die 7 x-Werte einsetzten und ausrechnen. Die Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem zeichen und daraus eine Parabel machen. Nullstellen ablesen und getan ist die Aufgabe!

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Kommentar von SchumiFan91
25.07.2016, 11:23

Da hast du recht. Ich habe mich allen Anschein nach nur davon leiten lassen, dass er bisher nur mit der Scheitelpunktform einen Graphen zeichnen kann und ich ihm dahingehend weiterhelfen wollte. Danke für den Hinweis.

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Setz den Wert für x ein und rechne y damit aus. Dadurch bekommst du einen Streckenzug von 7 Punkten und kannst aus dem Graphen die Nullstellen herauslesen.

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allgemeine Form y=f(x)= a2 * x^2 + a1*x+ao

a2>0 Parabel nach oben offen

a2<0 Parabel nach unten offen

Scheitelkoordinaten bei x= - (a1)/(2 *a2) und y= - (a1)^2/(4 *a2) + ao

Scheitelpunktforn y=f(x)= a2 *(x+b)^2 + c

b= - x und C= y

Bei dir a2=1 und a1=3 und ao= - 4 eingesetzt

x= - 3/(2*1)= - 1,5 und y= - (3)^2/(4*1) - 4= - 6,25

mit b= - x= - * (-1,5)= 1,5 und c=y= - 6,25

eingesetzt ergibt y=f(x)= 1 * (x +1,5)^2 - 6,25

Schnittpunkt mit der y-Achse ergibt x=0

y= 1 *0^2 + 3 *0 - 4= - 4

Nullstellen mit der p-q-Formel siehe Mathe-Formelbuch

x1= 1 und x2 = - 

Also wichtige Stellen sind Nullstellen x1=1 x2=+ - 4

y- Durchgang bei x=0 y= - 4

Scheitelkoordinaten bei x= - 1,5 und y= - 6,25

HINWEIS: Die Formeln für die Scheitelkoordinaten ergeben sich durch die allgemeine Umformung mit der "quadratischen Ergänzung",der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform.

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