Wie aus der Normalform einen Graphen Zeichnen?

5 Antworten

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Du musst x - Werte einsetzten und dann damit die y-Koordinate bestimmen.

Machen wir ein Beispiel.

Wir setzten in die Funktion y = x² + 3x - 4 die x-Koordinate x = 0 ein.

y = 0² + 3*0 - 4

y = - 4

Noch besser wenn man es so aufschreibt:

f(0) = -4

Man fängt aber immer mit y in der Schule an. Wenn ihr das mit f(x) bzw. hier f(0) noch nicht gemacht habt, dann schreibe einfach weiterhin y!

Das, was wir berechnet haben heißt jetzt, dass bei der x-Koordinate x = 0 der Graph die y-Koordinate y = -4 hat.

Im Bild siehst du das noch einmal gut. Dort schneidet der Graph genau die y-Achse bei y = -4.

Der Graph geht also durch den Punkt P( 0 | -4).

Genauso sollst du das weiter mit insgesamt 7 Werten machen, also noch 6 anderen.

Berechne also die y-Koordinate an der Stelle x = -3, -2, -1, 0, 1, 2 und 3.

Genau wie ich es oben vorgemacht habe. Die Zahlen die ich gerade aufgezählt habe einfach in die Funktion einsetzten und das ganze ausrechen.

Das, was dann rauskommt ist wie du siehst dann immer "y =", also die y-Koordinate.

Ich hoffe ich konnte das ganze verständlich erklären.

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Wenn du dann insgesamt 7 Punkte eingezeichnet hast kannst du die Parabel auch zeichnen. Dann ist das Nullstellen ablesen ein leichtes. In dem Bild siehst du das aber auch schon.

Die Nullstellen sind N( -4 | 0) und N1( 1 | 0).
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Falls du noch Fragen hast kannst du sie natürlich gerne stellen! :)

Liebe Grüße

TechnikSpezi


Funktion y = x² + 3x - 4 - (Schule, Mathematik, Lernen)

Eskapismus 
Beitragsersteller
 24.07.2016, 11:48

Vielen, vielen Dank für die ausführliche Antwort!! :)
Ich habe jetzt mal die anderen Zahlen in die Gleichung eingegeben, zum Beispiel -1

-1² + 3*-1-4 da kommt aber -8 raus und nicht -6, wie es laut deiner Zeichnung sein sollte :( was mache ich falsch? 

Bei den anderen Zahlen (-3,-2,-1 und 1,2,3) kommen auch ganz andere Zahlen raus..

TechnikSpezi  24.07.2016, 11:56
@Eskapismus

Du machst die typischen Anfänger & Flüchtigkeitsfehler, die ich auch in der Oberstufe noch ständig mache! -.-

Fangen wir mit x = -1 an.

Setzten wir ein:

y = (-1)² + 3* (-1) -4

So musst du das auch aufschreiben, nicht anders ohne Klammern.

Daher kommt nämlich genau das, was du falsch gemacht hast.

Jetzt rechnest du erst einmal (-1)², also einfach (-1) * (-1). Was ergibt - mal - noch einmal? Genau, plus!

Also kommt bei dem Teil schon einmal 1 raus.

Weiter geht es:

3 * (-1)

Hier rechnest du also + mal -. + mal - sind wie du wissen solltest dann minus. 3 * 1 sind 1, also kommt hier -3 raus.

Am Ende dann natürlich die -4 nicht vergessen.

Also fassen wir zusammen:

y = 1 - 3 - 4

y = -6

Du hast sicherlich die Vorzeichen nicht korrekt "berechnet" und irgendwo Vorzeichenfehler gemacht. Wie gesagt, solche Fehler mache ich bis heute noch -.- ;)

Merke dir immer das mit:

+ mal - = -

- mal - = +

+ mal + = +

Das musst du im Schlaf können! Und denke dran, die Klammern zu schreiben. Damit vermeidest du solche Fehler und von der Schreibweise musst du es auch so machen, sonst gibt es Punktabzug in der Klassenarbeit!

Sicherlich kommen daher auch die Fehler bei den anderen Werten.

Probiere es jetzt nochmal und achte immer ganz genau auf die Vorzeichen! :)

Liebe Grüße

TechnikSpezi

Eskapismus 
Beitragsersteller
 24.07.2016, 12:00
@TechnikSpezi

Wow, vielen lieben Dank dir, jetzt habe ich es endlich verstanden! :)

TechnikSpezi  24.07.2016, 12:01
@Eskapismus

Freut mich sehr das zu hören!! :))

Bitte bitte, da mussten wir alle mal mit genau diesen Problemen durch! ;)

allgemeine Form y=f(x)= a2 * x^2 + a1*x+ao

a2>0 Parabel nach oben offen

a2<0 Parabel nach unten offen

Scheitelkoordinaten bei x= - (a1)/(2 *a2) und y= - (a1)^2/(4 *a2) + ao

Scheitelpunktforn y=f(x)= a2 *(x+b)^2 + c

b= - x und C= y

Bei dir a2=1 und a1=3 und ao= - 4 eingesetzt

x= - 3/(2*1)= - 1,5 und y= - (3)^2/(4*1) - 4= - 6,25

mit b= - x= - * (-1,5)= 1,5 und c=y= - 6,25

eingesetzt ergibt y=f(x)= 1 * (x +1,5)^2 - 6,25

Schnittpunkt mit der y-Achse ergibt x=0

y= 1 *0^2 + 3 *0 - 4= - 4

Nullstellen mit der p-q-Formel siehe Mathe-Formelbuch

x1= 1 und x2 = - 

Also wichtige Stellen sind Nullstellen x1=1 x2=+ - 4

y- Durchgang bei x=0 y= - 4

Scheitelkoordinaten bei x= - 1,5 und y= - 6,25

HINWEIS: Die Formeln für die Scheitelkoordinaten ergeben sich durch die allgemeine Umformung mit der "quadratischen Ergänzung",der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Setz den Wert für x ein und rechne y damit aus. Dadurch bekommst du einen Streckenzug von 7 Punkten und kannst aus dem Graphen die Nullstellen herauslesen.

Du erhältst die Scheitelpunktform ganz einfach durch quadratisches Ergänzen:

y = x² + 3x - 4

1. Schritt: Welche binomische Formel?

Da wir den Ausdruck +3x vorfinden, verwenden wir die 1. Binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b² .

2. Schritt: Vergleich der Funktion mit der ausmultiplizierten binomischen Formel:

x² entspricht a² → a = x

3x entspricht 2ab → da a = x ist, muss 3 = 2b sein. Damit muss b = 1,5 sein.

b² muss demnach 1,5² = 2,25 sein.

3. Schritt: Quadratisch Ergänzen

Schreibe nun y = x² + 3x - 4 so, dass y = x² + 3x + 2,25 - 2,25 - 4

4. Schritt: Wende die binomische Formel rückwärts an:

y = (x² + 3x + 2,25) - 2,25 - 4 = (x + 1,5)² - 6,25

Damit bist du fertig!

Wenn du bereits die Ableitung kennengelernt hast, kannst du damit ganz einfach den Scheitelpunkt des Graphen bestimmen.

y' = 2x + 3

0 = 2x + 3

x = -1,5

y(-1,5) = -6,25

Daraus ergibt sich der Scheitel bei (-1,5/-6,25) und damit die Scheitelpunktform y = (x + 1,5)² - 6,25 .


TechnikSpezi  24.07.2016, 14:42

Du bist da etwas zu weit gegangen.

Die Aufgabe lautete folgendermaßen:

Zeichnen Sie den Graphen mithilfe einer Wertetabelle mit 7 Wertepaaren, lesen sie die Nullstellen ab.

Das was ich dick markiert habe sagt ja alles. Mithilfe einer Wertetabelle. Dafür brauchst du hier keine Umformung oder quadratische Ergänzung und erst Recht keine Ableitung am Ende, die er garantiert noch nicht kennen gelernt hat. Wenn man sich mit Ableitungen beschäftigt, also in NRW in der EF (10. Klasse Gymnasium / 11. Klasse Gesamtschule), dann arbeitet man mit ganzrationalen Funkitonen und dementsprechend fast nie mit quadratischen Funktionen.

Er soll die Nullstellen ja nicht einmal berechnen, sondern ablesen.

Wie in meiner Antwort zu lesen muss man hier einfach nur die 7 x-Werte einsetzten und ausrechnen. Die Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem zeichen und daraus eine Parabel machen. Nullstellen ablesen und getan ist die Aufgabe!

SchumiFan91  25.07.2016, 11:23

Da hast du recht. Ich habe mich allen Anschein nach nur davon leiten lassen, dass er bisher nur mit der Scheitelpunktform einen Graphen zeichnen kann und ich ihm dahingehend weiterhelfen wollte. Danke für den Hinweis.

Aus dieser Form kannst du den Scheitel nicht erkennen.

Nullstelle musst du mit pq/abc berechnen: x²+3x-4=0

Y-Achsenabschnitt: x=0 setzen: y=-4

Für die Umwandlung in die Scheitelpunktform gibt es eine Formel.

Das sollte dir weiterhelfen:

http://www.mathebibel.de/scheitelpunktform


TechnikSpezi  24.07.2016, 11:20

Unter "lesen sie die Nullstellen ab" versteht man nicht

Nullstelle musst du mit pq/abc berechnen: x²+3x-4=0

Das ist sicher auch eine Möglichkeit, aber hier nicht gefragt!

AntonJJ  24.07.2016, 14:29
@TechnikSpezi

Stimmt, ist aber meiner Perspektive nach algorithmicher "Kindergarten", deswegen vergisst man die "einfachen" Sachen ;)