Wie ändert sich der Fehler einer Messgröße beim quadrieren?

Und zwar habe ich innerhalb eines Experiments meine Periodendauer T für ein Federpendel gemessen und den entsprechenden absoluten Fehler dafür berechnet. Nun muss ich aber meine Periodendauer zum Quadrat T^2 berechnen, aber wie verändert sich der absolute Fehler durch das Quadrieren?

Da quadrieren der Periodendauer ja nur eine Multiplikation der Periodendauer mit sich selbst darstellt, habe ich mir gedacht, dass ich vielleicht den relativen Fehler meiner Periodendauer einfach mit sich selbst addiere und das dann eben wieder in einen absoluten Fehler umrechne. Also so wie ich normalerweise auch bei einer Fehlerfortpflanzung bei Multiplikation vorgehen würde. Jedoch bin ich mir nicht sicher ob ich das so machen kann.

Ich würde mich über Antworten freuen.

Answer 1

[indiachinacook]

In grober Näherung verdoppelt sich der relative Fehler — z.B. 10% auf 20% in (10±1)² = 100±20, das kannst Du sofort verstehen weil (10±1)² = 100 ± 20 + 1 ≈ 100 ± 20

Answer 2

[mihisu]

Üblicherweise benutzt man für sowas eine Fehlerfortpflanzung...

https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfortpflanzung#Regeln_zur_Fehlerfortpflanzung

Wenn die Fehler nicht zu groß werden (was ja in der Regel der Fall ist), ist entsprechend dem Taylor-Polynom 1. Ordnung...

$y(x+\Delta x)\approx y(x)+\frac{\text{d}y(x)}{\text{d}x}\cdot \Delta x$

Also...

$\Delta y=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\cdot \Delta x$

Bzw. könnte man auch direkt anschaulich Δy/Δx ≈ dy/dx erkennen.

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Im konkreten Fall geht es nun um...

$Q(T)=T^2$

mit der Ableitung

$\frac{\text{d}Q(T)}{\text{d}T}=2\cdot T$

Da erhält man dann...

$\Delta Q(T)=\frac{\text{d}Q(T)}{\text{d}T}\cdot \Delta T=2\cdot T\cdot \Delta T$

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Zum Vergleich... Du hättest angenommen, dass sich hier einfach der relative Fehler addiert. Da käme man auf...

$\frac{\Delta Q}{Q}=\frac{\Delta T}{T}+\frac{\Delta T}{T}=2\cdot \frac{\Delta T}{T}$

$\rightarrow\quad \Delta Q=2\cdot \frac{\Delta T}{T}\cdot Q$

$\rightarrow\quad \Delta Q=2\cdot \frac{\Delta T}{T}\cdot T^2$

$\rightarrow\quad \Delta Q=2\cdot T\cdot \Delta T$

Tatsächlich kommt man hier also zum gleichen Ergebnis.