Welche Formel zur Fehlerfortpflanzung verwenden?
Hallo,
ich habe Probleme damit zu verstehen wann man welche Formel (im Bild blau und rot) für die Fehlerfortpflanzung verwenden kann. Wie man im Bild erkennt lassen sich diese Formeln so gar in dem Fall (zur berechnung von p=mv) ineinander umformen. Bei anderen Formeln wie z.b. Rges = ((R1 + R2)/(R1*R2))^-1 geht das allerdings nicht.
Wann also verwendet man welche Formel?
Danke:)
1 Antwort
Wenn die zu berechnende Größe (hier: p) funktional abhängig ist von mehreren fehlerbehafteten Größen (hier: m, v), so kann die Auswirkung der einzelnen fehlerbehafteten Größen auf die zu berechnende Größe mittels Fehlerfortpflanzung bestimmt werden.
Hierfür werden die partiellen Ableitungen benötigt. Die Fehlerfortpflanzung für das Beispiel p = m * v ist blau gekennzeichnet.
Wird das Ergebnis der Fehlerfortpflanzung, also der Fehler der zu berechnenden Größe (hier: σ_p), ins Verhältnis gesetzt zur berechneten Größe (hier: p), so erhält man den relativen Fehler (rot gekennzeichnet).
Die Berechnung des relativen Fehlers scheitert nicht daran, dass die funktionale Beziehung komplizierter ist.
Irgendwo gibt es da ein Verständnisproblem. Der relative Fehler ist doch nur der Fehler aus der Fehlerfortpflanzung dividiert durch den Funktionswert (hier: p)
Nehmen wir ein Beispiel, welches Deinem o.g. Beispiel nahe kommt.
f(x, y) = (x + y) / (x * y) mit x = 4 ; σ_x = +-0,1 ; y = 8 ; σ_y = +-0,15
f(x, y) = 0,375
σ_f = √ ((-1 / x²)² * σ_x² + (-1 / y²)² *σ_y²)
σ_f = √ ((-1 / 4²)² * 0,1² + (-1 / 8²)² * 0,15²)
σ_f = +-0,006675
relativer Fehler:
+-0,006675 / 0,375 = +-0,0178
Anwendung "rote Formel":
σ_f / f = √(((-1 / x²)² / f²) * σ_x² + ((-1 / y²)² / f²) * σ_y²)
σ_f / f = √(((-1 / 4²)² / 0,375²) * 0,1² + ((-1 / 8²)² / 0,375²) * 0,15²)
σ_f / f = +-0,0178
Das ist das gleiche Ergebnis und zwar unabhängig davon, wie die Funktionsgleichung lautet.
Doch es gibt Fälle, in denen die Berechnung mittels relativen Fehler (die rote Formel angewendet) zu einem anderen Ergebnis führen wie mit der Fehlerfortpflanzung (blaue Formel). Z.B. für eine Kreisfläche pi*r^2 kommt mit der roten Formel sqrt(2*(fehler von r / r)^2) raus, mit der blauen sqrt(4*(fehler von r / r)^2).