Wer aus unserer Gruppe ist das neutrale Element?
Hallo,
ich habe einen Freundeskreis (also mehrere Freunde, alle im R^3, also alles eigentlich eine Freundeskugel) und mir wurde gesagt, dass jede Gruppe ein neutrales Element hat. Jetzt frage ich mich, wie ich das in meiner Gruppe finde.
In meiner Gruppe sind 5 Personen und ich.
3 Antworten
Eine Gruppe im mathematischen Sinne braucht eine Verknüpfung. Das ist sowas wie die Multiplikation bei Zahlen: Die nimmt sich zwei Zahlen und macht daraus eine möglicherweise neue Zahl.
Wenn du deinen Freundeskreis also als mathematische Gruppe auffassen möchtest, musst du erst erklären, wie die Verknüpfung definiert ist. D.h. du musst sagen, welche Person (aus dem Freundeskreis) rauskommt, wenn man zwei Personen verknüpft.
Eine mögliche solche Verknüpfung wäre etwa: Wenn X und Y zwei Personen aus dem Freundeskreis sind, dann ist X * Y definiert als die größte Person aus {X,Y} (oder intuitiver ausgedrückt: die größere der beiden Personen).
Eine Verknüpfung alleine reicht nicht, um eine mathematische Gruppe zu erhalten - sie muss zusätzlich auch noch ein paar Eigenschaften haben (sogenannte Gruppenaxiome). Eine dieser Eigenschaften ist, dass es ein Element E aus der Gruppe geben muss, sodass für jedes X aus der Gruppe E * X = X und X * E = X gilt. Dieses E lässt alle Gruppenelemente unverändert und wird somit als "neutrales Element" bezeichnet.
In meiner Beispielverknüpfung wäre E einfach die kleinste Person aus eurem Gruppenkreis: Denn E * X ist die größere der beiden Personen, was ja auf jeden Fall X ist, weil E die kleinste Person ist. Daher ist stets E * X = X.
Aber unsere Definition von X * Y ist ja willkürlich, wir hätten auch sagen können X * Y ist die kleinere der beiden Personen. Dann wäre das neutrale Element die größte Person des Freundeskreises gewesen.
Tatsächlich sind beide Verknüpfungen keine Gruppenverknüpfungen (es scheitert an einem anderen Axiom). Was ich dir nur mitgeben möchte ist: Wer das neutrale Element ist, hängt davon ab, wie du Personen miteinander verknüpfst.
Eure Gruppe ist keine Gruppe im algebraischen Sinne sondern nur eine Menge.
zB fehlt eine innere zweistellige Verknüpfung bzw. du hast keine definiert.
Wenn du mit einem "neutralem" Freund interagierst, dann empfindest du die verbrachte Zeit so, als hättest du die Zeit alleine verbracht.
In der Nicht-mathematischen Welt würde man so einen Freund z.B. daran erkennen, dass dieser in deiner Gegenwart nur am Handy hängt und dir nicht zuhört.
Wenn du das Experiment mit allen Freunden wiederholst & das gleiche Ergebnis erhältst, hast du dein neutrales Element gefunden.