Wendestelle bei eingeschränktem Definitionsbereich?

Angenommen wir haben die Funktion $f\left(x\right)\ =\ x^3$ mit dem Definitionsbereich $D\ =\ \left[0;\ ∞\right]$

Ist x=0 in diesem Falle eine Wendstelle? Meine Überlegung wäre, dass das hinreichende Kriterium nichtsdestotrotz erfüllt bleibt. Auf der anderen Seite findet ja kein klassischer Krümmungswechsel statt, da die Funktion für vorherige x-Werte nicht definiert ist.

Answer 1

[mihisu]

Nein, diese Funktion hat keine Wendestelle.

Meine Überlegung wäre, dass das hinreichende Kriterium nichtsdestotrotz erfüllt bleibt.

Nein. Das hinreichende Kriterium ist auch nicht erfüllt. Denn, wenn du dir mal die Kriterien (sofern sie mathematisch exakt aufgeschrieben sind) ansiehst, wirst du feststellen, dass bei diesen Kriterien eine offene Menge als Definitionsbereich (bzw. eine entsprechende Umgebung um die betrachtete Stelle) vorausgesetzt wird...

Siehe beispielsweise...

https://de.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt#Kriterien_zur_Bestimmung_von_Wendepunkten

Und genau das hat man hier nicht gegeben. Im konkreten Fall liegt x = 0 am Rand eines nicht-offenen Definitionsbereichs.

Auf der anderen Seite findet ja kein klassischer Krümmungswechsel statt, da die Funktion für vorherige x-Werte nicht definiert ist.

Richtig. Und deshalb hat man hier auch keinen Wendepunkt.

Wenn du dir mal allgemeinere Definitionen, statt diese auf Ableitungen beruhenden Kriterien, anschaust, wirst du auch feststellen, dass Wendepunkte über solch einen Krümmungswechsel (bzw. genauer einen Wechsel von konkav und konvex bzw. umgekehrt) definiert ist.

Comments

[Delta45]

Wikipedia ist keine Quelle. Zumal im zitierten Abschnitt fehlt was Umfebung meint. Beispielsweise ist [ 0, eps) eine offene Umgebung in D mit tracetopology

[mihisu]

@Delta45

Doch, Wikipedia ist eine Quelle. (Ob sie eine gute Quelle ist und wissenschaftlichen Standards genügt, ist wieder eine andere Frage. Auch ist meine Antwort keine wissenschaftliche Arbeit, die entsprechenden Standards entsprechend sollte.)

Meine Antworten werden sowieso oftmals zu lang und ausschweifend, dass ich mir jetzt solche Kleinigkeiten wie Teilraumtopologien, etc. erspart habe, was evtl. auch vom Wesentlichen abgelenkt hätte.

[Delta45]

@mihisu

Wikipedia ist ein reine Propagandaseite

[ItachiUchihaLX]

Du hast völlig recht, danke für die ausführliche Antwort!