Was ist unendlich?
Guten morgen ☕️
Frage: Wenn ich unendlich viele Versuche habe aus einer Lostrommel mit unendlich vielen Losen ein ganz bestimmtes los zu ziehen, wie oft ziehe ich es dann?
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6 Antworten
Guten morgen IchUnglaubli112,
es gibt keine Gleichverteilung auf den natürlichen Zahlen. Wenn die Lose mit 1, 2, 3, usw. durchnummeriert sind, gibt es kein Laplace Experiment. Wenn ein Ergebnis eine positive Wahrscheinlichkeit hätte, gäbe es eine endliche Anzahl von Ergebnissen, die zusammen eine Wahrscheinlichkeit größer als Eins haben. Das darf bei einem Wahrscheinlichkeitsmaß nicht sein. Wenn jede Zahl die Wahrscheinlichkeit Null hat, haben alle Zahlen zusammen auch die Wahrscheinlichkeit Null, denn der Grenzwert der Summe 0 + 0 + 0 + … ist auch 0. Die gesamte Ergebnismenge muss aber eine Wahrscheinlichkeit von Eins haben. Was mögliche wäre, ist eine Gleichverteilung der reellen Zahlen auf einem endlichen Intervall, oder eine ungleiche Verteilung.
Ereignisse, die nicht von endlich vielen Versuchen abhängen, nennt man terminale oder asymptotische Ereignisse. In Deinem Beispiel wären "Das Los Nummer 1 wird unendlich oft gezogen" und dessen Gegenereignis "Das Los Nummer 1 wird höchstens endlich oft gezogen" terminale Ereignisse. Solche Ereignisse haben nach dem Kolmogorowschen Null-Eins-Gesetz entweder die Wahrscheinlichkeit Null oder Eins.
Mit dem Lemma von Borell-Cantelli gibt es auch Regeln, welcher dieser beiden Fälle vorliegt. In diesem Fall nennen wir Aₙ das Ereignis "Erfolg im n-ten Versuch". Wenn die Summe der Wahrscheinlichkeiten P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) + … beschränkt ist, es also eine Zahl gibt, die nicht überschritten wird, dann hat das Ereignis, dass unendlich viele Aₙ eintreten, die Wahrscheinlichkeit Null. Umgekehrt müssen die Aₙ paarweise unabhängig sein. Wenn die Summe größer als jede beliebige Zahl wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis unendlich oft eintritt gleich Eins. Wenn alle Aₙ die Wahrscheinlichkeit Null haben, wird die Summe auch nie größer als Null. Die Wahrscheinlichkeit für unendlich viele Erfolge ist also auch Null.
Interessanter ist die Frage, was passiert, wenn die Anzahl der Lose mit jedem Versuch steigt. Wenn es im ersten Versuch nur das eine Gewinnlos gibt und mit jedem Versuch die Anzahl der Lose um eines zunimmt, hat man die Gewinnwahrscheinlichkeiten 1, 1/2, 1/3, 1/4, … . Da die harmonische Reihe divergiert, also diese Summe dieser Wahrscheinlichkeiten größer als jede beliebige Zahl wird, ist die Wahrscheinlichkeit für unendlich viele Gewinne Eins. Im Gegensatz dazu konvergiert die geometrische Reihe, denn 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2. Wenn sich die Anzahl der Lose mit jedem Versuch verdoppelt, ist dementsprechend die Wahrscheinlichkeit für unendlich viele Gewinne Null.
Ja, man muss definieren wie unendlich zu verstehen ist. Nach den Axiomen für Wahrscheinlichkeitsmaß, speziell die σ-Additivität ist die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von abzählbar vielen disjunkten Mengen gleich dem Grenzwert der Reihe aus den einzelnen Wahrscheinlichkeiten. So kann man nicht endlich viel Masse > 0 auf abzählbar unendlich viele Stücke gleich aufteilen. Wenn mit unendlich Gleichverteilung auf allen natürlichen Zahlen zu verstehen ist, gibt es das nicht. Das Ereignis, dass eine Zahl ≤ als eine bestimmte Zahl gezogen wird, hätte immer die Wahrscheinlichkeit Null, wenn man jeder Zahl die Wahrscheinlichkeit Null zuordnen würde.
Und Dein Beispiel geht etwas in die Richtung, was ich unten in meiner Antwort genannt habe. Wenn die Anzahl der Lose pro Versuch exponentiell oder quadratisch zunimmt, sieht die Sache anders aus.
Das Verfahren, das du beschreibst, klingt für mich nach einem klassischen Fehlschluss. Typischerweise taucht der auf bei der Frage:
"Was ist unendlich / unendlich?"
Und hier kann man argumentieren, dass das 1 ist, weil n/n = 1 ist und somit gegen 1 konvergiert, wenn man n gegen unendlich laufen lässt.
Aber analog kann man argumentieren, dass es 2 sein muss, weil 2n/n = 2 ist und sowohl 2n als auch n gegen unendlich laufen, wenn n gegen unendlich läuft.
Dasselbe funktioniert auch hier: Wenn ich nur halb so viele Versuche wie Lose zulasse, liegt die Wahrscheinlichkeit, nie das richtige zu ziehen im Grenzwert bei e^(-1/2), was offenkundig etwas anderes ist als 1/e.
Unendlich gibt es ja nicht - ich kann ja nur einen Grenzwert betrachten - oder?
Ich denke, hier geht es eher um ein mengentheoretisches Unendlich. Im Sinne von: Die Menge aller Versuche, in denen ich einen Erfolg ziehe, ist nicht endlich.
Es war nicht meine Absicht auf etwas zu schließen. Wo siehst du einen Fehlschluss?
Wenn sich die Anzahl der Lose mit jedem Versuch verdoppelt, ist dementsprechend die Wahrscheinlichkeit für unendlich viele Gewinne Null
An dieser Stelle muss ich für den Fragesteller einen Stolperstein der W-Theorie ergänzen: Wahrscheinlichkeit 0 heißt leider nicht, dass das Ereignis unmöglich ist.
Stell dir vor, in der Trommel sind die Lose 1, 2, 3, 4, 5, ...
Und nun ziehst du, in dieser Reihenfolge: 2, 4, 6, 8, 10, ...
Dann ziehst du leider nie das Los mit der glücklichen Nummer 7.
Und wenn meine unendlichen Versuche dazu führen, dass ich einfach immer weiter mache bis ich nummer 7 ziehe?
Das Problem ist, dass du eben einfach immer weiter ziehen kannst, ohne die Nummer 7 zu kriegen. Egal wie viele gerade Zahlen du aus der Trommel genommen hast, es sind ja immer noch unendlich viele gerade Zahlen übrig, die du ziehen kannst. Das heißt bei deinem nächsten Zug ist nie garantiert, dass du eine ungerade Zahl ziehst - und schon gar nicht, dass du die 7 ziehst.
Wenn du unglücklich bist, kannst du daher wortwörtlich unendlich viele Zahlen ziehen, ohne eine einzige ungerade Zahl zu erwischen ;)
Ja schon, ... nur um "eventuell garnicht" als "Ergebnis" anzunehmen, müsste da kein Ende definiert sein.
Wenn ich alle meine unendlich vielen Möglichkeiten nutzen möchte und quasi mittendrin bin beim lose-ziehen... wie will man das dann als Ergebnis anerkennen?
Ändern wir den Gedankengang ein wenig ab: Statt die Lose nach und nach zu ziehen, wischen wir einmal mit unserem (unendlich großen) Eimer durch und ziehen damit auf einen Streich unendlich viele Lose auf einmal. Inhaltlich ist das dasselbe, als würde ich "unendlich oft" ziehen und die Reihenfolge ignorieren, aber das macht es einfacher, sich das nicht als endliche Zug-Sequenz vorzustellen.
Nun kann es mir passieren, dass die 7 im Eimer liegt (yay), es kann aber auch passieren, dass ich unendlich viele andere Zahlen (z.B. nur gerade Zahlen) im Eimer liegen hab (mist).
Daher lautet die Antwort nun einmal: Eventuell ziehe ich die 7 überhaupt nicht.
Gibt es dafür eine mathematische gleichung?
Mir geht es garnicht darum recht oder Unrecht zu haben.... mir fehlt das verständnis dafür, wie man, obwohl man unendlich viele Lose hat, nicht die 7 zieht.
Ich versteh deinen Gedankengang, nehmen wir mal an es sind unendlich vieler 6er ...Dann zieh ich unendlich viele 6er. Wann kann man dann wirklich endgültig zu dem Ergebnis kommen, das vielleicht keine 7 dabei ist, wenn man ja noch unendlich viele Lose vor sich hat
Wenn man sich die gezogenen Lose nacheinander anguckt, kann man sich tatsächlich nie sicher sein.
Deswegen werden unendliche Mengen in der Mathematik auch eher selten "aufzählend" dargestellt, sondern "beschreibend".
Der Unterschied ist wie folgt:
Wenn ich den Inhalt des Eimers aufzählend darstelle, schaue ich mir "das erste" Los an, dann "das zweite", dann "das dritte" usw. Und ich notiere: 2, 4, 6, ...
Problem: Ich kann mir nie 100%ig sicher sein, wie es weitergeht. (Außerdem gibt es Mengen, die so viel zu groß sind, dass es gar keinen Sinn ergibt, den Elementen Nummern geben zu wollen, aber das ist ein anderes Thema.)
Um beschreibende Darstellung zu verstehen, stell dir vor, der Eimer wäre nicht nur unendlich groß, sondern magisch: Nachdem ich mit ihm unendlich viele Lose gezogen habe, gibt er mir eine exakte Beschreibung aller Lose, die in ihm liegen, ohne dass ich sie einzeln angucken muss.
Das könnte z.B. so aussehen:
"Ich beinhalte genau die Lose, deren Zahl gerade ist."
oder:
"Ich beinhalte die Lose, deren Zahl größer als 2 und durch 6 teilbar ist, bis auf die 30."
Nun brauch ich mir nur noch die Beschreibung, die der Eimer mir gegeben hat, angucken und prüfen, ob sie auf die 7 zutrifft. Dann weiß ich genau, ob die 7 im Eimer liegt oder nicht.
In Mengenschreibweise wäre das übrigens sowas wie:
{x | x ist gerade} oder
{x | x > 2 und x ist durch 6 teilbar}
[nur für den Fall, dass dir etwas ähnliches schonmal über den Weg gelaufen ist, dann hilft dir das evtl. beim Verständnis].
Und so blöd das klingen mag, aber in diesem Sinne arbeitet die Mathematik eben vorwiegend mit magischen Eimern ;)
"Ich beinhalte die Lose, deren Zahl größer als 2 und durch 6 teilbar ist, bis auf die 30."
Oof, hier sollte die Zahl vllt größer als 20 statt größer als 2 sein, da sonst die erste Bedingung nutzlos ist :'D
{x | x > 2 und x ist durch 6 teilbar}
Und hier hab ich den "bis auf die 30"-Teil vergessen
Aber das Grundprinzip ändert sich nicht ;)
Dann ist dein magischer Eimer aber sehr magisch. Wie kann er dir eine Auswertung aller Zahlen nennen, wenn er mit der Auswertung niemals ans Ende kommen würde weil es kein Ende gibt?
Richtig, er ist sehr magisch. Wir wissen nicht, wie der Eimer funktioniert, aber irgendwie schafft er es, unendlich viele Elemente auf einmal zu erfassen.
In der Mathematik ist das auch kein Problem, da wir uns die Eimer meist selbst zusammenbauen. Das heißt, wir ziehen nicht erst irgendwelche Elemente und warten dann auf die Antwort des Eimers, sondern wir starten mit einem Eimer, dem wir die Antwort bereits mitgeben. Im Sinne von:
Sei Ellie der Eimer, der alle geraden Zahlen beinhaltet.
Und dann können wir anfangen, Aussagen über Ellie und ihre Elemente zu formulieren.
In der Realität hingegen geht das natürlich nicht so einfach: Da gibt es nichts, das unendlich viele Dinge auf einmal fehlerfrei messen kann. Dann wiederum ist Unendlichkeit auch ein Konzept, das in der Realität eher selten anzutreffen ist (wenn überhaupt), insofern ist das vielleicht auch gar nicht so schlimm ;)
Ja, aber wenn ich unendlich viele mir bekannte Elemente in den Eimer packen würde.... würde sich die Frage garnicht stellen, weil ich die Antwort darauf schon kenne
Richtig, wir weichen ab, sry ;)
Nehmen wir für den Moment die Existenz von magischen Eimern an (das ist ok, weil wir ein mathematisches Problem behandeln und es in der Mathematik eben etwas ähnliches wie diese magischen Eimer gibt).
Wir führen unser Experiment durch und fragen uns, ob im Eimer die 7 liegt.
A priori, ohne irgendwelche Mathematik zu betreiben, gibt es zwei denkbare Antworten:
- Ja
- Nein
Um zu beweisen, dass beide möglich sind, muss ich zeigen, dass es
- Einen Eimer gibt, der ein Resultat des Experiments sein kann und der die 7 beinhaltet
- Einen Eimer gibt, der ein Resultat des Experiments sein kann und der die 7 nicht beinhaltet.
Für beides finden wir leicht Beispiele, z.B.
- Den Eimer aller geraden Zahlen
- Den Eimer aller ungeraden Zahlen
Daher sind beide Outcomes mathematisch möglich.
Aus deinen Kommentaren lese ich heraus, dass die Möglichkeit eigentlich weniger das Problem ist, sondern vielmehr die Frage: Kann ich mir sicher sein, die 7 nicht gezogen zu haben?
Unter der Verwendung magischer Eimer: Ja. Aber wenn wir diese Voraussetzung fallen lassen, lautet die Antwort eher "Nein".
Falls wir keine magischen Eimer haben, sondern nur unendlich große Eimer, kann es mir nach wie vor passieren, dass ich nur die geraden Zahlen rausfische. Aber wenn mir das passiert und ich nur die Lose in meinem Eimer einzeln durchgucken kann, kann ich mir nie sicher sein.
Um also die Ursprungsfrage zu beantworten: In diesem Fall habe ich die 7 nicht gezogen, aber diesen Fakt finde ich nie heraus.
Und die Tatsache dass du niemals herausfindest, dass keine 7 im Eimer ist, bedeutet doch, dass die Antwort wegfällt
Ich glaube wir haben eine unterschiedliche Vorstellung von der Bedeutung der Antwort "eventuell gar nicht".
"Eventuell gar nicht" heißt für mich, dass es passieren kann, dass ich die 7 nicht ziehe. Und das ist eindeutig wahr, wie wir eben gesehen haben. Ich muss ja nicht einmal das Experiment durchführen, um mir eine Situation vorstellen zu können, in der ich die 7 nicht ziehe.
Ob ich bei der konkreten Durchführung des Experiments das Ergebnis ich habe die 7 nicht gezogen anerkenne, ist eine andere Frage. Wenn ich die 7 nicht ziehe, würde ich dir hier zustimmen, dass ich das Ergebnis nie als objektive Wahrheit anerkennen würde (naja, es sei denn jemand zeigt mir, dass die 7 noch in der Trommel liegt).
Also mal angenommen du hast 28.000.444.245.927 Lose gezogen oder dir ziehen lassen und es waren alles 6er...
Also unendlich mit einem Wert ins Verhältnis zu geht ja nicht... aber die Anzahl deiner Lose die du kennst, nur um es irgendwie darzustellen.... ist im verhältnis nichteinmal so groß wie ein Sandkorn im Vergleich zum universum.
Meinst du nicht, es ist zu simpel, dann einfach zu sagen "Gut ich hab ein paar Nieten gezogen. Ich hab zwar noch unendlich viele vor mir, aber die paar Nieten reichen mir um davon auszugehen dass alles Nieten sein könnten"
Natürlich ist es zu simpel, dagegen sage ich ja auch gar nichts. Ich sage nur, dass es für mich denkbar ist, dass ich nur Nieten gezogen habe. Und solange ich keine Nicht-Niete finde, bleibt es denkbar. Ich würde die Aussage "Ich habe nur Nieten gezogen" nicht als objektive Wahrheit akzeptieren. Ebenso würde ich die Aussage "Ich habe einen Gewinn gezogen" nicht als objektive Wahrheit akzeptieren. Für beides fehlt mir der Beweis.
Oder um es mit den Worten der Antwort auszudrücken: "Eventuell habe ich nur Nieten gezogen, eventuell ist aber auch ein Gewinn dabei - beides ist möglich."
Da erscheinen mir mehrere der gegebenen Optionen möglich.
wie oft ziehe ich es dann?
Das ist nicht bestimmbar.
Wow, die Frage ist gut. Hier in Japan ist gerade Mittagspause, aber um 5 Uhr wie in Deutschland würde sich mein Hirn weigern hierfür Ressourcen aufzuwenden.
Kann es sein daß du in der Schule / Uni gerade die Cantor´sche Mengenlehre durchnimmst? Dahingehend würde ich diese Frage einordnen.
Rein vom menschlichen Denken her würde von einmal ziehen bis unendlich ziehen in einer zählbaren Unendlichkeit alles dabei sein. Aber Mathematik ist in diesem Bereich nicht mehr so leicht mit einfachen Denken zu überblicken. :-D
Die Frage scheint mir hier etwas mit dem Geburtstags-Paradoxon verwandt zu sein, bei der du einen Treffer in einer zählbaren Menge suchst.
Hi, nein, das hat eigentlich garnichts mit Mathematik zu tun.
Ich philosophiere gerne und ich hatte ein 3 ständiges Gespräch mit einem sehr guten Freund.
Es ging darum ob es extra terrestrische Leben geben kann und erdähnliche Planeten.
Naja mein Standpunkt ist, ich glaube an beides, nicht wegen irgendwelchen Nachrichten od3r Zeitungsartikeln, sondern mein unendlich großer Lostopf mit unendlichen losen ist das Universum und die unendlichen Züge beim Lose ziehen Planeten bzw Lebewesen
Vielleicht bin ich echt dämlich, aber ich bin überzeugt davon, daß es das geben muss und zwar unendlich oft sogar und alles andere halte ich für ignorant 😅
Nein, ganz im Gegenteil: Wenn ich das so lese halte ich dich für sehr schlau. Du solltest Mathematik studieren. Als ich das mit der unendlichen Lostrommel gelesen habe, hat es sofort bei mir geklingelt: Das passt zur Mengenlehre von Georg Cantor bei der die Kradinalität einer Menge auf die Unendlichkeit ausgeweitet wird.
Ich halte zwar nichts von Verschwörungstheoretikern mit fliegenden Untertassen auf der Erde, denn dazu sind die Entfernungen einfach nicht Überbrückbar. Es wurden aber bereits Planeten an bekannten Sternen nachgewiesen, wenn diese an ihrem Mutterstern vorbeiziehen, kann man das messen. Also ist die Wahrscheinlichkeit für bewohnbare Planeten gegeben, die gibt es mit Sicherheit und auch das dazugehörige Leben.
Ob wir das jemals beweisen können, steht allerdings buchstäblich in den Sternen. Die Grenzen des Universums sind ja auch nicht bekannt, da irgendwann jegliches Licht durch die Rotlichtverschiebung eines sich entfernenden Objekts in der Unsichtbarkeit verschwindet...
Viel Spaß noch...
Aliens und Planeten waren eigentlich Nebensache. Es ging darum, dass es echt verdammt schade ist, dass so viele Menschen sich sogar in ihren eigenen Gedanken Grenzen setzten und garnicht mehr bereit sind über den tellerrand hinaus zu schauen
Bin jetzt bisl verwirrt: Was wäre, wenn es genau so viele Versuche (n) gäbe wie Lose (n), ich die Wahrscheinlichkeit bestimme und dann n diskret gegen Unendlich gehen lasse?
Dann ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Zug ein bestimmstes Los zu ziehen zunächst p(1)=1/n . Die Wahrscheinlichkeit bei n Versuchen kein Los zu ziehen ist dann
(1-1/n)^n und das geht für großes n gegen 1/e ~ 0.37.
Das würde ja bedeuten, dass ich bei n Versuchen aus einer Losmenge der Mächtigkeit n immer eine Wahrscheinlichkeit 63% habe, das gewünschte Los zu ziehen, wenn n nur groß genug ist. Der Erwartungswert der Treffer ist sowieso 1.
Was bedeutet das nun in Bezug auf die Frage? Unendlich gibt es ja nicht - ich kann ja nur einen Grenzwert betrachten - oder? ich habe das Gefühl, dass man bei der Frage präziser definieren müsste, was man unter "unendlich" versteht.