Warum wird hier eine Einschränkung gemacht (Mathe)?
Hallo, liebe Community!
Folgende Aufgabe ist in unserem Mathebuch zu finden:
Meine Frage bezieht sich auf die b). Wie die Aufgabe funktioniert, weiß ich, ich kenne auch die Lösung und darum geht es mir hier gar nicht.
Was mich interessiert, ist, warum die Leute vom Buch hier die Einschränkung machen, dass a^2 + b^2 nicht 1 sein darf. Ich habe mal probeweise eine Funktion, bei der das der Fall wäre, von einem Funktionsplotter zeichnen lassen und diese hatte auch Nullstellen, also warum ist das hier ausgeschlossen?
Ich habe überlegt, ob das vielleicht etwas mit hebbaren Definitionslücken zu tun hat, denn wenn man a^2 + b^2 = 1 umstellt, dann steht da ja a^2 = (1-b) * (1+b) und diese faktorisierte Form erinnert mich irgendwie an die hebbaren Definitionslücken, allerdings ist mir da der Zusammenhang auch nicht klar.
Oder hat es etwas damit zu tun, dass auch (sin x)^2 + (cos x)^2 = 1 ist?
Vielen Dank schon einmal für eure Antworten!
2 Antworten
Das liegt daran, dass der Nenner nicht für das gleiche x Null werden darf wie der Zähler. Denn durch Null "darf nicht" geteilt werden bzw. es gibt kein sinnvolles Ergebnis.
- Nullstelle der Gesamtfunktion (Nullstelle des Zählers):
sinx=-a. Mit Additionstheorem: sinx = -a = Wurzel (1-cos²x).
- Nullstelle des Nenners: cosx=-b
Forderung: Beide Nullstellen dürfen NICHT gleichzeitig auftreten.
Also: Die Ausschlussbedingung gilt dann, wenn ich die Nullstelle des Nenners in die Nullstelle des Zählers einsetze (also cosx=-b in die Nullstelle des Zählers einsetze).
Es muss also sein (mit cosx=-b)
-a = Wurzel(1-cos²x) ungleich Wurzel(1-b²).
Einfache Rechnung (beide Seiten quadrieren): a² ungleich (1-b²)
Wenn a^2+b^2=1, dann sieht die Funktion immer wie ein Tangens aus, nur verschiebt dieser sich entlang der x-Achse bei unterschiedlichen a, deswegen wird es gefordert