Wie berechnet man die nullstellen von f(x)=sin(x) mal cos(x)?
3 Antworten
Du zeichnest einen Kreis und bewegst einen Radius beginnend von der x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn nach oben. Immer dann wenn man zwischen x-Achse und Ende des Radius-Striches 0 Platz hat, also gleich beim Start, d.h. 0 ° und dann wieder bei 180 ° hat der Sinus sine Nullstelle. Natürlich für alle weiteren die 180° Abstand haben auch.
Also: sin(x) = 0 für x = +/- n * 180° mit n Element N + { 0 }
Der cosinus hat die Nullstelle wenn der gleiche Radius-Zeiger von oben zwischen der y-Achse keinen Platz hat, also bei 90° und dann 270°. Für alle weiteren mit 180° Abstand auch.
Also: cos(x) = 0 für x = 90° +/- n * 180° mit n Element N + { 0 }
Anstelle von ° kann man den Kreis auch im Bogenmaß mit pi messen. Einmal rumfahren entspricht 2 pi, das wären 360 °. Also ist 90° = pi / 2 und 180 ° = pi --- und die Formel geht dann mit +/- n * pi.
Ein Produkt ist immer dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.
Also liegen die Nullstellen deiner Funktion da, wo gilt sin(x)=0 bzw. cos(x) =0.
Die braucht man nicht berechnen.
Du kennst doch die Nullstellen von sin(x) und auch die von cos(x) ???
Dann weißt Du, daß ein Produkt = 0 ist, wenn einer der beiden Faktoren = 0 ist.
Daraus folgerst Du .....
Das leitest Du aus der Definition der Sinusfunktion und Cosinusfunktion am Einheitskreis ab.
Weißt Du was ich meine ?
Wenn nicht versuche ich Dir eine Seite zu finden, wo es erklärt wird.
Hier läßt sich das ohne Zeichnung schwer erklären.
Es ist sogar in Wikipedia sehr gut dargestellt:
https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus
Da ist auch eine kleinen Animation, wie sich beide im 1.Quatranten verhalten. Die Darstellung im 2., 3. und 4. Quatranten kann man an einem Bild weiter untern sich klar machen.
Dann sieht man, daß -cos(x) = sin (x) bei x= 90° + 45° ist.
Im Einheitskreis ist dies genau bei 3*Pi/4 (3/4tel Pi).
Und dann wieder bei Pi + 3/4 Pi usw.
Woraus sich die Regel ableitet, die arschalf genannt hat.
Und bei sinus(x) + cos(x) ?