Wie löst man eine einfache Trigonometrische Gleichung ohne Taschenrechner?
Hallo! Ich verstehe nicht, wie ich OHNE Taschenrechner oder andere Hilfen den bspw. cos(x)= 0,5 oder cos(x)=0,5*Wurzel 3 lösen soll. Brauche ich da kein TR? Oder vielleicht den Einheitskreis? Ichbin total verwirrt, weil cos und sin doch normalerweise mit TR berechnet werden müssen oder?? Wie soll man z.B sin(pi/4) berechnen ohne TR? hä?Ihr müsst es mir nicht alles vorrechnen, ich brauche nur einen Denkanstoß oder den Anfang der Rechnung oder so....
4 Antworten
("w()" Quadratwurzel). - Zu offenen Fragen:
A. Am Einheitskreis liest du ab :
cos(pi/4) = sin(pi/4); wegen
sin²(pi/4) + cos²(pi/4) = 1 ist dann
2 * sin²(pi/4) = 1;
sin²(pi/4) = 1/2, | w
sin(pi/4) = w(1/2) = 1/w(2) = cos(pi/4);
so funktioniert das.
B. Symmetrie des Einheitskreises zur ersten Winkelhalbierenden (Gerade y =x) des Koordinatensystems zeigt:
sin (pi/4 + alpha) = cos (pi/4 - alpha)
Mit beta = pi/4 + alpha <-> alpha = beta - pi/4
sin (beta) = sin (pi/4 + alpha) =
cos (pi/4 - alpha) = cos (pi/4 - (beta - pi/4)) = cos (pi/2 - beta) (für bel. beta)
also für die Spezialwinkel mit zu merkenden Werten:
sin(0) = cos(pi/2) = 0;
sin(pi/6) = cos(pi/3) = 1/2;
sin(pi/4) = cos(pi/4) = w(2)/2 = 1/w(2) (s.o.)
sin(pi/3) = cos(pi/6) = w(3)/2;
sin(pi/2) = cos(0) = 1
Das ist wirklich sehr hilfreich, aber ich verstehe nicht, wie du auf 2*sin(pi/4) kommst. (Weil es dasselbe wie cos ist??) und dann noch eine Frage: Wieso kann man dann am Ende 1/Wurzel 0,5 schreiben? Hat das was mit der Umkehrung oder so zu tun? Das ist mir nicht ganz klar.
A. Ich komme nicht auf 2 * sin(pi/4), sondern auf 2 * sin²(pi/4) = 2 * (sin(pi/4))^2
In der Tat sind sin²(pi/4) = cos²(pi/4), weil sin(pi/4) = cos(pi/4) ist, und also
sin²(pi/4) + cos²(pi/4) = sin²(pi/4) + sin²(pi/4) = 2 * sin²(pi/4)
B. Ich könnte mir diese ganzen Umformungen nie ohne Geometrie merken. Gucke in dein Einheitskreis: cos(pi/4), sin(pi/4) und der Radius r=1 bilden ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck.
Wie lang ist dessen Hypotenuse? Wie lang ist also nach Pythagoras jede Kathete?
C. w() Wurzel;
w (1/2) = w(1) / w(2) = 1 / w(2);
gebräuchlich ist auch die mit w(2) erweiterte Schreibweise:
1 / w(2) = w(2)* 1 / (w(2) * w(2)) = w(2) / 2.
Du kannst die Wurzel auch als Potenz schreiben, also
w(x) = x^(1/2), 1/w(x) = x^(-1/2)
und die Regeln des Potenzrechnens anwenden -> gleiches Ergebnis.
Oh, danke! Wenn ich mir deine Antwort durchlese, komme ich mir wie ein Dummkopf vor (was ich ja eigentlich auch bin). Dafür danke ich die vielmals!!
Aber wie mache ich das dann bei z.B sin(pi/3)?? Da kann ich ja nicht sagen, dass cos gleich ist, Wie soll ich da den Satz des Pythagoras aufstellen??:
sin(pi/3)^2+ cos(???)^2=1 Was muss da für cos hin? Vielleicht cos(pi/6)^2?? Muss ich mich da am Einheitskreis orientieren??
Für einen völlig beliebige Winkel phi gilt der sogenannte "trigonometrische Pythagoras":
sin² (phi) + cos² (phi) = 1;
Damit das gilt, müssen die Werte nicht geich sein. Denn damit der Satz der Pythagoras in einem rechtwinkligen Dreieck gilt, muss dieses nicht gleichschenklig sein.
ultrarunner gab vorgestern eine sehr brauchbare Quelle an, an der du dir das graphisch klarmachen kannst. Der "Zeiger" Pfeil OD hat die Länge r=1. Du kannst ihn in Gedanken einmal "ganz rund herum" laufen lassen, um die Gültigkeit des "trigonometrischen Pythagoras" für beliebige Winkel phi zu verstehen.
Deswegen gilt er auch für die "Spezialwinkel" phi = pi/3, phi = pi/6, phi = 2pi/3 usw.
Spontan fällt mir ein, dass es bestimmte Werte von Sinus und Cosinus gibt, die man gut auswendig lernen kann - nämlich: 1.0°, 2.Pi/6 = 30°, 3.Pi/4=45°, 4.Pi/3=60°, 5.Pi/2=90°. Hier verlaufen Sinus und Cosinus gegenläufig, d.h. Sinus hat die Werte 0,5 Wurzel(0), 0,5 Wurzel(1), 0,5 Wurzel(2)...; Cosinus beginnt bei 0,5 Wurzel(4) und geht dann abwärts bis 0,5 Wurzel (0). Tangens kannst du dir dann leicht als Sinus/Cosinus errechnen.
So, ich hoffe, das ist auch ohne Formeleditor halbwegs verständlich, sonst einfach nochmal nachfragen...
Beste Grüße
Vielen Dank! Aber ich verstehe trotzdem nicht, was du mit den Wurzeln meinst und dass Sinus bei der einen Wurzel und Cosinuns bei der anderen beginnt. Wenn Cosinuns bei 0,5 Wurzel (4) beginnt, bedeutt das, dass es bei 1 beginnt und da ist doch nicht der Beginn der Kurve oder? UNd ich habe immer noch keine Idee, wie ich eine einfache trigonometrische Gleichung ohne TR berechen soll...:(
Ein Beispiel: sin(π/4):
Wenn du dir den Winkel π/4 in den Einheitskreis einzeichnest, wirst du bemerken, dass sin und cos dieses Winkels gleich groß sein müssen.
Du hast also ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 1 vorliegen. Mit dem Lehrsatz des Pythagoras erhältst du dann sowohl für sin(π/4) als auch für cos(π/4) den Wert 1/√2.
Mit ähnlichen Überlegungen kann man die Werte der Winkelfunktionen auch bei anderen "besonderen" Winkeln bestimmen.
Das verstehe ich nicht ganz. Wie kann ich durch den Satz des Pythagoras den sin(pi/4) und cos(pi/4) ausrechnen? Was muss ich denn genau machen? Ich dachte an so was: pi/4 sind ja 45°. KAnn man dann ncit rechnen: sin(45)^2+cos(45)^2=1^2 0,7^2+0,7^2=1 0,5+0,5=1 1=1 Ich komme aber nciht auf 1/Wurzel2 Warum nicht? Ist das falsch?
Hier siehst du, wie man Winkelfunktionen am Einheitskreis abliest:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Winkelfunktionen_Einheitskreis.svg
Wäre der Winkel nun 45°, dann wäre aus Symmetriegründen das rote Dreieck gleichschenklig-rechtwinklig. Die Hypothenuse wäre 1, die Katheten wären sin(45°) und cos(45°), wobei in diesem Fall beide gleich lang wären. Daher benenne ich im Folgenden beide Katheten mit a.
Pythagoras würde nun meinen:
a² + a² = 1²
2a² = 1
a² = 1/2
a = 1/√2 ≈ 0,707
Somit gilt:
sin(45°) = cos(45°) = a = 1/√2 ≈ 0,707
Man kann sich die Verhältnisse am gleichschenklig- rechtwinkligen und am gleichseitigen Dreieck klarmachen.
Anhand der Sinuskurve oder des Einheitskreises kann man "sehen, (wissen) " wie die Werte sind. Du musst dir halt nur einmal wenige Zahlen merken wie:
sin(0) = 0
sin(pi/6) = 0,5
sin(pi/4) = W(2) /2 = 0,707
sin(pi/3) = 0,866 = W(3) / 2
sin(pi/2) = 1
Das war der erste Berg der Sinuskurve. Aus diesen Zahlen kann man sich "alles" weitere erschließen inklusive cos und tan. Das geht aber nur bei (0pi ; pi/6 ; pi /3; pi/2 )
Danke, das hat sehr geholfen, ok, also braucht man doch eine Hilfe, den Einheitskreis. Ohne Einheitskreis und ohne Merken von wichtigen einfachen Zahlen kann man solche funktionswerte nicht berechnen? Und was meinst du, wenn man bspw. sin(pi/6)=0,5 weiß, kommt man auf den cos(pi/6)? Oder wie hast du das gemeint? Denn wie man dann auf die anderen Werte kommt ohne zu rechnen, wüsste ich auch gerne.
Warum ist die Wurzel aus 1/2 denn 1/Wurzel2 ???? Die Lösung stimmt ja, aber ich verstehe nicht, wieso...