Warum wird folgendes so abgeleitet?
Also die Funktion f(x) = 2sin(x-0,5pi)+1
word ja so abgeleitet: 2cos(x-0,5pi)
aber warum? Die kettenregel sagt ja eigentlich dass man die Potenz mit 1 abzieht also warum fällt das in der Klammer nicht weg?
4 Antworten
Äußere Ableitung ist cos von Klammer;
die 1 dahinter verschwindet ohnehin.
Die innere Ableitung ist 1, und mit dieser wird die Klammer multipliziert, bleibt also erhalten.
Daher f'(x) = 2 cos(x-0,5pi)
Da braucht man keine längeren Erörterungen, solange man pi als Konstante sieht. Es könnte aber auch eine Verschiebung des Arguments um pi/2 sein.
Habe ich doch. Und ich habe es sogar gesagt: Die innere Ableitung ist 1.
Nur das x in der Klammer wird abgeleitet. x = x¹ (Rest ist konstant)
Die Ableitung ist 1 * x⁰ = 1 * 1 = 1
Wenn du einen Term mit 1 multiplizierst, ändert er sich ja nicht mehr.
Technisch gesehen hast du mit x⁰ multipliziert und damit abgeleitet.
Aber wenn ein Term hoch 0 ist, wird er gleich eins. (X-0,5pi)^0 =1
Das stimmt zwar, aber Ableiten geht anders.
Wenn du ableitest:
f(x) = x - c ........ c ist irgendeine Konstante
leitest du x und c getrennt ab.
Ableitung von x ist 1
Ableitung von c ist 0
Ableitung von (x - c) = 1 - 0 = 1
Nach der äußeren Ableitung stand da
2cos(x-0,5pi).
Wenn du den ganzen Term mit 1 multiplizierst, steht da immer noch
2cos(x-0,5pi)
Kettenregel ist: äußere Ableitung mal innere Ableitung.
Ich finde, dass ich sehr geduldig bin ...
Ja ich finde auch dass du sehr geduldig bist. Vielen Dank.
läß Konstantenregel (a*f(x))´=a*f´(x)
Potenzregel (x^(k))´=k*x^(k-1) mit x ungleich NULL für k<0
Summenregel f´(x)=f´1(x)+/-f´2(x)+/-...f´n(x)
Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)=innere Ableitung mal äußere Ableitung
elementare Ableitung (sin(x))´=cos(x)
f(x)=2*sin(x-pi/2)+1=2*sin(x-pi/2)+1*x⁰ mit x⁰=1 läßt man in Gleichungen weg
f1(x)=2*sin(x-pi/2)
f2(x)=1*x⁰ abgeleitet f´2(x)=1*0*x^(0-1)=1*0*x^(-1)=0
f´2(x)=0
f(x)=sin(x-pi/2) mit der Kettenregel
Substitution (ersetzen) z=x-pi/2 abgeleitet z´=dz/dx=1 die Konstante fällt weg
f(z)=sin(z) abgeleitet f´(z)=cos(z) elementare Ableitung → .....
f´1(x)=2*z´*f´(z)=2*1*cos(x-pi/2)=2*cos(x-pi/2)
f´(x)=2*cos(x-pi/2)
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wow danke für deine Antwort aber irgendwie war das nicht wirklich verständlich mit der kettenregel bei mir...
Beispiel: f(x)=sin(x)
elementare Ableitung (sin(x))´=cos(x)
Das gilt also "nur" für f(x)=cos(x)
und nicht für f(x)=sin(2*x)
Das kannst du dir so vorstellen,als wenn du 2 Schachteln hast.
1 große Schachtel
1 kleine Schachtel
Die kleine Schachtel befindet sich in der großen Schachtel
So ist das auch mit dieser Funktio
Wir haben hier eine äußere Funktion f(z)=sin(z) (große Schachtel) ,die dann die "innere Funktion" (kleine Schachtel) f(x)=2*x enthält
Bei solch einer Konstruktion wendet man die Kettenregel an
f´(x)=innere Ableitung mal äußere Ableitung
f´(x)=z´*f´(z)
gilt auch bei f(x)=e^(-0,5*x)
elementare Ableitung (e^(x))´=e^(x)
gilt nur für f(x)=e^(x)
f(x)=e^(-0,5*x) hier ist z=-0,5*x die innere Funktion (innere Schachtel)
z=-0,5*x abgeleitet z´=dz/dx=-0,5
f(z)=e^(z) abgeleitet f´(z)=e^(z)
f´(x)=z´*f´(z)=-0,5*e^(z)=-0,5*e^(-0,5*x)
wo siehst du da genau eine potenz?
f'(x)
=abl(2sin(x-0,5*pi)+1)
=abl(2sin(x-0,5*pi))+abl(1)
=2*abl(sin(x-0,5*pi))+0
=2*cos(x-0,5*pi)*abl(x-0,5*pi)
=2*cos(x-0,5*pi)*(1)
=2*cos(x-0,5*pi)
dürfte stimmen.
was meinst du nun da mit potenz?
Okay du hast die kettenregel angewendet. Aber warum macht man dann sonst immer die Potenz immer -1
zum Beispiel bei f(x)= 2*(2x-3)^5
ist f‘(x)= 10[(2x-3)^4 ]*2
die Potenz wurde ja von 5 zu 4. also müsste doch eigentlich die 1 zu 0 gerechnet werden:
2*(2x-3)^1 = f(x)
f‘(x)= 2*[(2x-3)^0]*2
Und wo ist das problem?
Abl(2*(2x-3))
=2*Abl(2x-3)
=2*2=4
wenn mans nach den üblichen regeln rechnet.
Von mir aus kann man da auch noch ne kettenregel reinbringen:
Abl(2*(2x-3)^1)
= 2*Abl((2x-3)^1)
=2* 1*(2x-3)^0 *Abl(2x-3)
=2*1*1*Abl(2x-3)
=2*Abl(2x-3)
=2*2
=4
Aber wie du bei mir siehst kommt da nicht das richtige Ergebnis raus...
das richtige Ergebnis wäre 2cos(x-0,5pi)
und bei mir kommt 2*cos raus
Dann müsstest du auch kettenregel beachten:
sagen wir bspw. f(x)=x^2=(x^2)^1
dann ist
f'(x)
=abl((x^2)^1)
= 1*(x^2)^0 * abl(x^2)
=1*1*abl(x^2)
=abl(x^2)
=f'(x)
oder allgemein gesprochen:
abl(f(x))
=abl((f(x))^1 )
=1*(f(x))^0 *abl(f(x))
=1*1*f'(x)
=f'(x)
es ändert also rein gar nichts.
Ich versteh es wirklich nicht. Ich dachte erst du hast in deiner Antwort die Produkt Regel angewendet aber ... hä?
doch du musst sie nur vollständig anwenden!
wenn du sagst dass (f(x))^1 abgeleitet 1*(f(x)^0=1 ergibt, ist das nicht ganz korrekt denn du vergisst hier die innere ableitung zu nehmen!
das 1*(f(0)^0 ist nur die äussere ableitung bei dem ganzen und f'(x) die innere
...^1
-> ableitung= 1*...^0 *Ableitung(...)
Der term, der unter der ^1 potenz steht, muss als innere ableitung auch abgleeitet werden.
von daher ändert sich da nicht viel weil du da dann
f'(x)=1 * f(x)^0 * f ' (x) rauskriegst, was eben einfahc wieder f'(x) ist.
also f(x)= 2sin(x-0,5pi)+1
f‘(x) = 2sin[(x-0,5pi)^0]*1
wie man sieht ist die Ableitung vom inneren Term =1
weil von x-0,5pi die Ableitung =1 ist.
und das ist ja falsch.
Da würde ja eigentlich hoch 1 stehen. Das heißt man müsste 1-1 machen sodass es hoch 0 ist und die Klammer dann 1 ergibt und sie somit wegfällt...
Den Sinus leitest Du zum Cosinus ab. Den Term (xüpi) differenzierst Du nach. Wie Du richtig schreibst kommt da der Faktor 1 raus
Aber bei der kettenregel muss man doch eigentlich die Potenz minus eins noch nehmen