Warum stimmt die Formel a^-n = 1/a^n zum berechnen von negativen Potenzen?
Also ich verstehe halt nicht, wie diese Formel entstanden ist.
4 Antworten
Zuerst zeige ich, dass a^n/a^k = a^(n–k):
Jetzt zeige ich, dass a^(–k) = 1/a^k:
Dabei wurde nach dem zweiten Folgepfeil ein Potenzgesetz ausgenutzt. a^(n–k) und a^n*1/a^k darf man gleichsetzen, da a^n/a^k nach obigen Ergebnis gleich a^(n–k) ist und nach Bruchregeln aber auch a^n*1/a^k. Somit müssen a^(n–k) und a^n*1/a^k auch gleich sein sein.
Wie negative Exponenten entstehen hat Suboptimierer bereits verdeutlicht. Damit konnte man also die Werte dafür berechnen.
Dann hat wohl irgendwer versucht, diese Werte auf andere Weise zu berechnen und dabei nach einem Muster gesucht.
Anschließend wurde die Formel dann noch, z.B. durch vollständige Induktion für einige Zahlenmengen bewiesen.
Die Formel a^(-n) = 1/a^n ist eine mathematische Regel, die in der Algebra und Analysis angewendet wird. Diese Regel besagt, dass eine Zahl mit negativem Exponenten, wenn sie zur Basis a gehoben wird, gleich dem Kehrwert der Basis mit positivem Exponenten ist.
Diese Regel lässt sich auch geometrisch veranschaulichen, indem man die Potenzgesetze auf die Definition der Potenz als Wiederholtes Multiplizieren anwendet. Beispielsweise gilt für a^3 * a^-2:
a^3 * a^-2 = (a * a * a) * (1/(a * a)) = aaa*1/a/a = a^(3-2) = a^1 = a
Also haben wir a^3 * a^-2 = a.
Plausibel kann man es sich machen, wenn man eine einfache Folge betrachtet:
10^2 = 100,0
10^1 = 10,00
10^0 = 1,000
10^-1 = 0,100
10^-2 = 0,010
...
Das Komma wird immer um eine Stelle nach links verschoben.
Das verstehe ich, aber ich verstehe die Formel dazu halt nicht. Könnten Sie diese vielleicht erklären?
a ist in meinem Beispiel 10 und es stehen n=2 und n=-2, sowie n=1 und n=-1 im Vergleich.
10^2 = 100
10^-2 = 0,01 = 1/100
10^1 = 10
10^-1 = 1/10
Entscheidend ist, dass das Minuszeichen die Potenz unter den Bruchstrich zieht.
Ich weiß, was die Formel bedeutet, aber nicht wieso