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Man kann zeigen dass die Menge gleichmächtig zu N^3 ist, indem man eine Bijektion von N^3 zu der Menge macht (du hast ja schon eine Ähnliche Aufgabe gemacht, wo du eine Bijektion zwischen N^2 und der Menge von Funktionen von {0,1} nach N bestimmen sollt, hier ist es analog)
Und da N^e abzählbar ist, ist die Menge abzählbar.
Unendlich viele
Ein beliebiges Beispiel:
f: {1,2,3} -> N
f(1) = a
f(2) = b
f(3) = c
Wobei a, b, v natürliche Zahlen sind
Okay, also die Mennge aller {1,2,3}-->N ist abzählbar, alles gut, aber warum die Menge aller N-->{1,2,3} nicht?
Weil N unendlich viele Element hat.
Ich mach das mal für N->{0,1}, das kann man so einbetten, dass die Menge dieser Abbildungen bijektiv auf eine Teilmenge der Abbildungen N-->{1,2,3} abgebildet wird, das reicht.
Jede Abbildung von N nach {0,1} entspricht einer Teilmenge von N (in dieser Teilmenge sind dann jeweils genau die Elemente enthalten, bei denen der Funktionswert 1 ist und die nicht, bei denen der Funktionswert 0 ist, auf diese Weise kann ich eine bijektive Abbildung konstruieren). Die Potenzmenge von N ist überabzählbar.
Angenommen nes gibt eine Funktion f, die die N bijektiv auf die Menge der Funktionen von N nach {1,2,3} abbildet.
Du willst nun eine Funktion von N nach {1,2,3} finden, die nicht von f abgedeckt wird
Sei dafür g die Funktion. Setzte g(1) = eine der beiden Zahlen die ungleich f(1) (1) ist
Setze dann g(2) = eine der beiden Zahlen die ungleich f(2)(2) ist
Unw.
Dann gilt: g ist ungleich f(k) für alle k aus N (denn g(k) ist ungleich dem Wert von f(k)(k))
Du hast somit eine Funktion gefunden die nicht von abgedeckt wird, f kann also nicht bijektiv sein.
Sei f eine Abbildung von {1,2,3} nach N, und sei M die Menge aller dieser Abbildungen.
Dann ist F: M -> N³, F(f)= (f(1), f(2), f(3)) eine bijektive Abbildung zwischen M und N³. N³ ist abzählbar, also auch M.
Du meinst die Menge dieser Abbildungen?
Es sind drei Abbildungen. Du kannst bis 3 zählen, also ist es abzählbar. 1 - 2 -3
Warum fragst du das schon wieder? Ich habe dir doch schon mehrmals erklärt, daß 1 - 2 - 3 zählen offensichtlich zählbar ist.
Ich befürchte du hast noch immer nicht verstanden, was "abzählbar" bedeutet.
Ja klar, aber warum geht dann die Menge aller Abbildungen von N zu {1,2,3} nicht. N ist doch auch abzählbar, auch wenn unednlcih. Warum ist N -->{1,2,3} nicht abzählbar, also die Menge aller N-->{1,2,3}?
Ich meine die Menge aller Abbildungen von N-->{1,2,3}
Eine Menge enthält mehr als Elemente ? Das ist mir aber verwirrend neu.
wieviele gibt es da eigentlich und was wären beispiele ?