Warum schließt man bei einem gleichwertigen term bei einer Form eine lösungsmenge aus?
Warum sollte man dann überhaupt vereinfachen? Hier ist das ganze Jahr noch übersichtlich aber was macht man denn bei unübersichtlichen Termen? Man will ja keine möglichen lösungungen für x wegschmeißen, die verschwinden , nur weil man den Term vereinfacht hat.
2 Antworten
Ja richtig, deshalb sollte man die Gleichung nicht durch x oder einen Term, der x enthält, teilen. Stattdessen faktorisiert man sie (z.B. durch Ausklammern) und wendet den Satz vom Nullprodukt an, setzt also die einzelnen Faktoren (bei diesem Beispiel x und x-2) einzeln gleich Null. Dadurch behält man die volle Lösungsmenge bei und verliert keine Lösungen.
Nicht durch irgendwas dividieren, das x enthält. In dem Fall könnte man durch x dividieren (sollte man aber nicht) oder durch x-2 (sollte man auch nicht).
Danke sehr, das erleichtert einiges. Gibt es weitere regeln? Darf man einfach wurzeln ziehen, potenzieren ... Oder muss man da auch auf bestimmtes achten?
Beim Wurzelziehen unbedingt beachten, dass es zwei Lösungen gibt: mit + und mit - vor der Wurzel. Beispiel: (x-2)²=16. Wenn man auf beiden Seiten die Wurzel zieht, dann gibt es zwei Möglichkeiten: x-2 = 4 (gibt die Lösung x=6) und x-2=-4 (gibt die Lösung -2).
Beim Potenzieren kann man eine Lösung dazugewinnen, die die ursprüngliche Gleichung nicht löst. Beispiel: x-2=4 hat nur die Lösung x=6. Wenn ich beide Seiten quadriere, dann hat (x-2)²=16 die Lösungen 6 und -2. Man muss also am Ende beide Lösungen überprüfen, ob sie denn die Ausgangsgleichung (in dem Fall x-2=4) noch lösen.
Alles ab dem "kritischen Schritt" hätte man sich sparen können.
Wie man die gegebene Gleichung löst, wurde unter "Lösungen (ohne Vereinfachung)" erklärt. Den Rest kannst du ignorieren.
Das ist ja jetzt nur ein einfacher term um es verständlich rüberzubringen. Aber was macht man wenn das ganze komplizierter wird? Man verliert doch ständig irgendwelche Lösungen mit einigen Schritten bei der Umformung z.b /x
Deswegen sollst du ja nicht "durch x" teilen. (Einzige Ausnahme: Die Null ist nicht in der Definitionsmenge enthalten). Wie du die Gleichung trotzdem lösen kannst, hängt von der konkreten Gleichung ab. Gängige Verfahren sind z.B. Ausklammern oder Substitution.
Lernt man das in der Schule? Hab wohl nicht aufgepasst. Was sollte man nicht alles tun? Durch X teilen und ....? Aber kann man die Regel nicht /0 teilen einfach ignorieren? Jeder sieht doch, dass man es für den Term einsetzen kann.