Warum kann eine Funktion 3. Grades keine zwei Nullstellen haben?

7 Antworten

Kann sie - zwei reelle.

f(x) = x³ - 5x² + 8x - 4 hat beispielsweise zwei Nullstellen, die eine bei x = 1 und die andere bei x = 2 (doppelte Nullstelle).

Bei komplexen Nullstellen sieht die Sache allerdings schon wieder ganz anders aus - eine Polynomfunktion hat nämlich immer genauso viele komplexe Nullstellen wie der Grad der Funktion.

LG Willibergi

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Studium Mathematik

Funktionen n.-Grades können höchstens n Nullstellen haben.
Wenn n eine gerade Zahl ist, dann hat die Funktion 0 bis n Nullstellen.
Wenn n eine ungerade Zahl ist, dann hat die Funktion 1 bis n Nullstellen.

Somit kann eine kubische Funktion zwei Nullstellen haben.

Gruß

Eine reele Polynomfunktion dritten Grades f(x) = ax³ + bx² + cx + d kann abhängig von ihren  Parametern a, b, c und d entweder eine, zwei oder drei (reele) Nullstellen haben. Im Fall von zwei Nullstellen spricht man bei einer der beiden Nullstellen mathematisch von einer sogenannten Doppellösung.

Ein Polynom 3-ten Grades hat immer 3 Nullstellen.

Der Grund ist, weil sich jedes Polynom 3-ten Grades y = f(x) = a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d in der Form y = f(x) = a * (x - xn_1) * (x - xn_2) * (x - xn_3) darstellen lässt.

Also :

y = f(x) = a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d = a * (x - xn_1) * (x - xn_2) * (x - xn_3)

Wobei xn_i die Nullstellen sind.

Wegen dem Satz des Nullprodukts, hat das Polynom f(x) dort Nullstellen, wo einer seiner Linearfaktoren (x - xn_i) Null wird.

Beispiel :

f(x) = 2 * x ^ 3 - 6 * x ^ 2 + 14 * x - 10

Dieses Polynom hat Nullstellen bei :

x _ 1 = 1

x _ 2 = 1 - 2 * i

x _ 3 = 1 + 2 * i

Also :

f(x) = 2 * x ^ 3 - 6 * x ^ 2 + 14 * x - 10 = 2 * (x - 1) * (x - 1 + 2 * i) * (x - 1 - 2 * i)

Also 3 Nullstellen, aber nur eine davon ist eine reelle Nullstelle, aber das sind trotzdem 3 Nullstellen !

x _ 2 und x _ 3 sind konjungiert komplex zu einander.

Würde es 2 reelle Nullstellen geben, dann wäre das Polynom kein Polynom mit reellen Koeffizienten mehr, weil es dann kein konjungiert komplexes Paar von Nullstellen geben würde !

Nur konjungiert komplexe Paare von Nullstellen ergeben Polynome mit reellen Koeffizienten, nicht wenn es eine ungerade Anzahl von komplexen Nullstellen gibt, oder die komplexen Nullstellen nicht konjungiert komplex sind.

Beispiel :

x _ 1 = 1

x _ 2 = 2

x _ 3 = 1 + 2 * i

a = 2

f(x) = 2 * (x - 1) * (x - 2) * (x - 1 - 2 * i) , das ist kein Polynom mit reellen Koeffizienten, weil es kein konjungiert komplexes Paar von Nullstellen gibt, sondern nur eine einige komplexe Nullstelle.

Noch ein Beispiel :

x _ 1 = 1

x _ 2 = 1+ 2 * i

x _ 3 = 1 - 3 * i

a = 2

f(x) = 2 * (x - 1) * (x - 1 - 2 * i) * (x - 1 - 3 * i), das ist kein Polynom mit reellen Koeffizienten. Es gibt zwar eine gerade Anzahl von komplexen Nullstellen, aber die sind nicht konjungiert komplex zu einander.

Was konjungiert komplex bedeutet kannst du hier nachlesen :

http://www.mathepedia.de/Definitionen_Komplexe_Zahlen.aspx

Anmerkung :

..., sondern nur eine einzelne komplexe Nullstelle

sollte es heißen.

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@DepravedGirl

Außerdem :

Es gibt auch sogenannte doppelte Nullstellen, oder mehrfache Nullstellen, dort fallen Nullstellen zusammen, aber es sind trotzdem immer 3 Nullstellen bei einem Polynom 3-ten Grades, auch wenn Nullstellen auf einer x-Stelle zusammenfallen !

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Hallo Depraved Girl, was genau bedeutet "konjungiert komplex" ? Auf welchem Niveau ist das, wann nimmt man konjungiert komplex in der Schule durch ? Danke !

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@lateinchiller

Ist nicht weiter schwer :

Hier Beispiele

2 + 3 * i und 2 - 3 * i

oder

5 - 10 * i und 5 + 10 * i

oder

0.381 + 0.17 * i und 0.381 - 0.17 * i

Na, merkst du was ? Jetzt solltest du eigentlich erkennen, was das bedeutet.

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@DepravedGirl

Es kann sein, dass ihr das nie in der Schule durchnehmt, aber es wäre falsch gewesen, wenn ich dir was anderes geschrieben hätte.

i = imaginäre Einheit

Frage mal deinen Lehrer, was der von euch hören will.

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Sie kann doch zwei haben!
Wenn eine der beiden Extremstellen der Funktion (Hoch- oder Tiefpunkt) genau auf der x-Achse liegt, gibt es einen Sattelpunkt.
So kann prinzipiell auch eine Funktion 3. Grades 2 Nullstellen aufweisen.
Verstanden? 😅

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