Warum kann eine Funktion 3. Grades keine zwei Nullstellen haben?

Eine reele Polynomfunktion dritten Grades f(x) = ax³ + bx² + cx + d kann abhängig von ihren  Parametern a, b, c und d entweder eine, zwei oder drei (reele) Nullstellen haben. Im Fall von zwei Nullstellen spricht man bei einer der beiden Nullstellen mathematisch von einer sogenannten Doppellösung.

Ein Polynom 3-ten Grades hat immer 3 Nullstellen.

Der Grund ist, weil sich jedes Polynom 3-ten Grades y = f(x) = a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d in der Form y = f(x) = a * (x - xn_1) * (x - xn_2) * (x - xn_3) darstellen lässt.

Also :

y = f(x) = a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + c * x + d = a * (x - xn_1) * (x - xn_2) * (x - xn_3)

Wobei xn_i die Nullstellen sind.

Wegen dem Satz des Nullprodukts, hat das Polynom f(x) dort Nullstellen, wo einer seiner Linearfaktoren (x - xn_i) Null wird.

Beispiel :

f(x) = 2 * x ^ 3 - 6 * x ^ 2 + 14 * x - 10

Dieses Polynom hat Nullstellen bei :

x _ 1 = 1

x _ 2 = 1 - 2 * i

x _ 3 = 1 + 2 * i

Also :

f(x) = 2 * x ^ 3 - 6 * x ^ 2 + 14 * x - 10 = 2 * (x - 1) * (x - 1 + 2 * i) * (x - 1 - 2 * i)

Also 3 Nullstellen, aber nur eine davon ist eine reelle Nullstelle, aber das sind trotzdem 3 Nullstellen !

x _ 2 und x _ 3 sind konjungiert komplex zu einander.

Würde es 2 reelle Nullstellen geben, dann wäre das Polynom kein Polynom mit reellen Koeffizienten mehr, weil es dann kein konjungiert komplexes Paar von Nullstellen geben würde !

Nur konjungiert komplexe Paare von Nullstellen ergeben Polynome mit reellen Koeffizienten, nicht wenn es eine ungerade Anzahl von komplexen Nullstellen gibt, oder die komplexen Nullstellen nicht konjungiert komplex sind.

Beispiel :

x _ 1 = 1

x _ 2 = 2

x _ 3 = 1 + 2 * i

a = 2

f(x) = 2 * (x - 1) * (x - 2) * (x - 1 - 2 * i) , das ist kein Polynom mit reellen Koeffizienten, weil es kein konjungiert komplexes Paar von Nullstellen gibt, sondern nur eine einige komplexe Nullstelle.

Noch ein Beispiel :

x _ 1 = 1

x _ 2 = 1+ 2 * i

x _ 3 = 1 - 3 * i

a = 2

f(x) = 2 * (x - 1) * (x - 1 - 2 * i) * (x - 1 - 3 * i), das ist kein Polynom mit reellen Koeffizienten. Es gibt zwar eine gerade Anzahl von komplexen Nullstellen, aber die sind nicht konjungiert komplex zu einander.

Was konjungiert komplex bedeutet kannst du hier nachlesen :

http://www.mathepedia.de/Definitionen_Komplexe_Zahlen.aspx

Kann sie - zwei reelle.

f(x) = x³ - 5x² + 8x - 4 hat beispielsweise zwei Nullstellen, die eine bei x = 1 und die andere bei x = 2 (doppelte Nullstelle).

Bei komplexen Nullstellen sieht die Sache allerdings schon wieder ganz anders aus - eine Polynomfunktion hat nämlich immer genauso viele komplexe Nullstellen wie der Grad der Funktion.

LG Willibergi

Funktionen n.-Grades können höchstens n Nullstellen haben.
Wenn n eine gerade Zahl ist, dann hat die Funktion 0 bis n Nullstellen.
Wenn n eine ungerade Zahl ist, dann hat die Funktion 1 bis n Nullstellen.

Somit kann eine kubische Funktion zwei Nullstellen haben.

Gruß

Sie kann eine oder 3 haben. Da sich du immer 3 mal multiplizierst wird minus nie zu plus. Minus bleibt immer Minus. Im unendlichen strebt sie immer nach plus unendlich bzw minus unendlich.