WARUM besitzt jede Funktion ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle?

8 Antworten

ein funktion ungeraden grades f(x) hat immer den wertebereich R (evtl. R{})und geht daher immer von minus bis plus unendlich und MUSS daher min. einmal die x-achse schneiden anschaulich: der graph von f(x) geht immer von links oben nach rechts unten bzw. von rechts unten nach links oben

Man kann das leicht daran erkennen, dass man beim Einsetzen verschiedener Zahlen sowohl positive als auch negative Funktionswerte bekommt. Und alles was dazwischen liegt, z.B. den Funktionswert Null, bekommt man dann auch, weil Polynomfunktionen immer "stetig" sind, d.h. weil sie keine Sprünge machen. Es gibt also mindestens eine Nullstelle. Um zu sehen, wieso man sowohl positive als auch negative Funktionswerte bekommt, denkt man sich sehr große x-Werte und danach sehr stark negative x-Werte eingesetzt. Die Vorzeichen der entstehenden Funktionswerte werden dann durch die höchste vorkommende Potenz (das x mit dem größten Exponenten) bestimmt, weil die anderen (kleineren) Potenzen daran nur wenig ändern können. Viel Spaß beim Ausprobieren.

Wenn der Grad der Funktion ungerade ist, gibt es zwei Möglichkeiten: Der Koeffizient (die Zahl) vor der höchsten x-Potenz ist positiv (z. B. 3 x^5), dann geht die Funktion gegen unendlich für x -> unendlich, und sie geht gegen minus unendlich für x -> minus unendlich. Damit ist aber klar, dass sie sowohl über als auch unter der x-Achse verläuft, also muss sie die x-Achse mindestens 1x schneiden -- hat also eine Nullstelle.

Ist der Koeffizient der höchsten Potenz negativ (z. B. -4 x^7), ist das Verhalten für x -> +/- unendlich genau umgekehrt, und mit derselben Begründung gibt es auch wieder eine Nullstelle.

Bei Funktionen mit geradem Grad geht das nicht -- die gehen entweder in beiden Fällen gegen unendlich oder gegen minus unendlich, und damit muss es keine Nullstelle geben (z.B. f(x)=x^2 + 1 oder f(x)=x^4+1).

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