WARUM besitzt jede Funktion ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle?

6 Antworten

ein funktion ungeraden grades f(x) hat immer den wertebereich R (evtl. R{})und geht daher immer von minus bis plus unendlich und MUSS daher min. einmal die x-achse schneiden anschaulich: der graph von f(x) geht immer von links oben nach rechts unten bzw. von rechts unten nach links oben

Man kann das leicht daran erkennen, dass man beim Einsetzen verschiedener Zahlen sowohl positive als auch negative Funktionswerte bekommt. Und alles was dazwischen liegt, z.B. den Funktionswert Null, bekommt man dann auch, weil Polynomfunktionen immer "stetig" sind, d.h. weil sie keine Sprünge machen. Es gibt also mindestens eine Nullstelle. Um zu sehen, wieso man sowohl positive als auch negative Funktionswerte bekommt, denkt man sich sehr große x-Werte und danach sehr stark negative x-Werte eingesetzt. Die Vorzeichen der entstehenden Funktionswerte werden dann durch die höchste vorkommende Potenz (das x mit dem größten Exponenten) bestimmt, weil die anderen (kleineren) Potenzen daran nur wenig ändern können. Viel Spaß beim Ausprobieren.

Dies gilt aber nur weil Polynome automatisch überall stetig sind!

Etwas schwammig bedeutet das:

"Du kannst den Graphen zeichnen ohne den Stift abzusetzen.

Wenn du jetzt einen ungeraden Grad hast, nimmt die Funktion alle y-Werte von -unendlich bis +unendlich an. Die Funktion muss also auch alle y-Werte annehmen, die dazwischen sind. Dabei wird auch zwangsläufig die Null angenommen."

Dieser Sachverhalt ist bekannt als der "Zwischenwertsatz" für stetige Funktionen.

Wenn der Grad der Funktion ungerade ist, gibt es zwei Möglichkeiten: Der Koeffizient (die Zahl) vor der höchsten x-Potenz ist positiv (z. B. 3 x^5), dann geht die Funktion gegen unendlich für x -> unendlich, und sie geht gegen minus unendlich für x -> minus unendlich. Damit ist aber klar, dass sie sowohl über als auch unter der x-Achse verläuft, also muss sie die x-Achse mindestens 1x schneiden -- hat also eine Nullstelle.

Ist der Koeffizient der höchsten Potenz negativ (z. B. -4 x^7), ist das Verhalten für x -> +/- unendlich genau umgekehrt, und mit derselben Begründung gibt es auch wieder eine Nullstelle.

Bei Funktionen mit geradem Grad geht das nicht -- die gehen entweder in beiden Fällen gegen unendlich oder gegen minus unendlich, und damit muss es keine Nullstelle geben (z.B. f(x)=x^2 + 1 oder f(x)=x^4+1).

Zu den Zusatzfragen:

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-Eine Funktion 2. Grades kann in x=2 und in x=4 eine Nullstelle haben

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Ja, das ist richtig.

Die Funktion (wir sprechen hier immer über Polynomfunktionen) lautet dann:

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f ( x ) = (x - 2) * (x - 4) = x^2 - 6 * x + 8

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Eine Polynomfunktion 2. Grades hat IMMER genau einen Extremwert, also einen Wert, der kleiner oder größer ist als alle anderen Werte der Funktion.

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Ist der Faktor vor dem quadratischen Glied der Funktion negativ, dann handelt es sich bei dem Extremwert um ein Maximum, also den höchsten Wert der Funktion, andernfalls um ein Minimum, also den kleinsten Wert der Funktion.

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-Eine Funktion 4. Grades kann einen Hochpunkt in H(4|5), einen Tiefpunkt in T(3|4) und einen Tiefpunkt in T(1|2) haben.

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Das ist m.E. falsch.

Eine Polynomfunktion 4.Grades hat höchstens 3 Extremwerte, entweder zwei Tiefpunkte (lokale Minima) und einen Hochpunkt (lokales Maximum)oder zwei Hochpunkte und einen Tiefpunkt. Es können aber nicht, wie in der Frage angegeben, zwei gleichartige Punkte aufeinanderfolgen, sondern zwischen zwei Tiefpunkten muß ein hochpunkt liegen bzw. zwischen zwei Hochpunkten muss ein Tiefpunkt liegen.

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