Wie bestimme ich die Nullstellen bei Funktionen höheren Grades?

 - (Schule, Mathematik, Nullstellen)

6 Antworten

Versuch es mal mit dem Newton-Verfahren. Dabei bestimmst du zunächst einen Punkt auf der x-Achse als annähernde Nullstelle. Benutze am Besten einen Funktionsplotter, der dir aufzeigt, welche Stellen dabei gut geeignet wären. Wichtig ist, dass der Graph in dem Intervall zwischen der gesuchten und der selbst bestimmten Nullstelle zum Annähern streng monoton steigend oder fallen ist, also keine „Hügel“ oder „Täler“ oder „Lücken“ hat (auch Extrema und Polstellen genannt). Dann setzt du das in folgende Gleichung ein, wobei die selbst gewählte Nullstelle x0 ist: x1 (die genauere Annäherung an die gesuchte Nullstelle) = x0 - (f(x0))/(f‘(x0)). Wenn du es in genauerer Schreibweise willst kannst du das ganz einfach googeln. Das tolle am Newton-Verfahren ist, dass es ein Iterationsverfahren ist, und du somit den Wert, den du nach dem durchrechnen der Formel bekommst, in dieselbe einsetzt: du ersetzt in der oben beschriebenen Formel dann das x0 durch ein x1 und das x1 durch x2. Meistens musst du die Formel nur 5 mal durchlaufen, um an die „Grenzen“ deines Taschenrechners die Stellen hinter dem Komma betreffend zu gelangen.

Noch ein Tipp: Wähle die erste Annäherung nicht zu nah an der tatsächlichen Nullstelle und nimm lieber eine ganze Zahl dafür. Das erleichtert dir den Vorgang vor Allem dann, wenn du es im Kopf rechnen willst oder in f(x) oder f‘(x) einsetzen willst.

Ich hoffe, ich konnte es verständlich erklären. Sonst bleibt dir bei rein natürlichen Exponenten noch die Möglichkeit der Substitution, also dass du die Variable durch eine andere ersetzt und den Exponent halbierst und damit rechnest, und das erst später wieder auflöst. Am Besten ist es hierbei auch, am Anfang hinzuschreiben, wie genau du substituierst, beispielsweise so: x^2 = u. Eine andere Möglichkeit wäre auch 1/2x^3 = u etc. Das kommt wirklich auf die Formel an, die du versuchst, nach Nullstellen zu untersuchen.

Falls es passt, geht natürlich auch Polynomdivision. Dabei „errätst“ du eine erste Nullstelle, indem du einen Teiler der im Term Natürlichen Zahl oder gar sie selbst darin einsetzt. Wird er dabei einmal Null, kannst du diese Zahl als erste Nullstelle für Polynomdivision verwenden. Danach mit der Mitternachtsformel die quadratische Gleichung auflösen und du hast deine Nullstellen.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen!

deine Pi1000

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung

dies ist eine biquadratische Funktion y=f(x)=x⁴+2*x²+1

Substitution (ersetzen) z=x² ergibt

f(z)=z²+2*z+1 hat die Form 0=x²+p*x+q Nullstellen mit der p-q-Formel

x1,2=-p/2+/- Wurzel((p/2)²-q)

p=2 und q=1

z1,2=-(2)/2+/- Wurzel((2/2)²-1)=-1 +/- 0

z1=-1 und z2=-1

z=-1=x² ergibt x1,2=+/- Wurzel(-1) ergibt keine reelle Nullstelle (Schnittstelle mit der x-Achse)

weil der Radikant (-1) ist ,somit gibt es nur 2 konjugiert komplexe Lösungen

z1=0 + i 1 und z2=0 - i 1 siehe Mathe-Formelbuch,komplexe Zahlen

bedeutet: f(x)=x⁴+2*x²+1 schneidet nicht die x-Achse.

sieht aus,wie eine nach oben offene Parabel,die Achssymetrisch zur y-Achse liegt.

Minumum bei xmin=0 ymin=1

Bei anderen ganzrationalen Funktionen n.ten Grades,muss man prüfen,ob man die Substitution anwenden kann.

Im Normalfall, muss man die erste Nullstelle durch probieren herausfinden und dann die Näherungsformeln von Newton (Tangentenverfahren) oder Regula falsi (Sehenverfahren) anwenden.

Wenn man Glück hat,dann sind die Nullstellen ganze Zahlen.

Also x-Werte von x1=-3 ,x2=-2,x3=-1 bis xn=3 eisetzen

Hinweis: Sind die Nullstellen keine ganze Zahlen,so muss man eine Wertetabelle anlegen und prüfen,ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Findet ein Vorzeichenwechsel statt,so liegt zwischen den beiden x-Werten mindestens 1 Nullstelle.

Es gibt auch Funktionen,die die x-Achse nur berühren !

Dann findet kein Vorzeichenwechsel statt und man muss diese Stelle genauer untersuchen.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Bei geraden Funktionen, deren zweiter Grad die Hälfte des höchsten Grades ist, kannst du substituieren.
x⁴ + 2x² + 1 = z² + 2z + 1 ....... und dann p,q
x⁶ + x³ + 8 = z² + z + 8 ....... dto.

Häufig kann man x ausklammern:
x⁷ - 32x⁴ = x⁴ (x³ - 32) ....... dann Satz vom Nullprodukt

Oder man dividiert durch die Linearfaktoren, bis eine Gleichung erscheint, die man behandeln kann. Die Lösungen sind alle multiplikativ im Absolutglied vorhanden. Linearfaktor = x - Lösung.

In den meisten Fällen haben die Aufgabensteller dafür gesorgt, dass etwas davon passt.

Wenn nicht, wird euch noch ein Näherungsverfahren beigebracht.

Woher ich das weiß:Eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb
  • Substitution
  • Satz vom 0 Produkt bzw. Ausklammern
  • Polynomdivision
Woher ich das weiß:eigene Erfahrung

Raten oder Substitution.

Bei Deiner Funktion bietet sich die Substitution an.

Was möchtest Du wissen?