Warum ist 1/x=x hoch -1?
6 Antworten
Es gibt die Definition (Festlegung)
1 / x^n = x^(-n).
Also muss folglich
1 / x = 1 / x^1 = x^(-1)
sein.
Deine Definition gilt ungünstigerweise nur für positive reelle Werte von x, denn nur für diese ist ln(x) definiert.
1. Diese Definition gilt für positive x und beliebige n und wird nur gebraucht, um nicht-ganzzahlige Exponenten zu erlauben, wohingegen everysingleday1's Antwort für beliebige x, aber nur ganzzahlige n gilt.
2. Um von x^(-n) := exp(ln(x)(-n)) auf x^(-n) = 1/(x^n) zu schließen, MUSST du die Definition 1/(x^n) =: x^(-n) Definition nutzen, sonst kannst du die Potenzreihe von exp(ln(x)(-n)) garnicht zu Genüge manipulieren!
LG
x^4 ist x·x·x·x, x^3 ist x·x·x(klar?)
Dann ist x^4 : x^3 = x^(4-3) = x^1 (logisch)
Bei x^3 : x^4 soll diese Art der Rechnung weiterhin gelten (wär doch blöd, wenn es nur manchmal gelten würde!)
Also x^3:x^4 = x^(3-4) = x^(-1). Andererseits ist das Ergebnis ganz klar 1/x. Also definiert man (setzt das so fest) x^(-1) = 1/x.
Ähnliche Gründe hat die Festsetzung x^0 = 1.
x² bedeutet x * x = x * x
x^a bedeutet x * x * x * ...... x
{ a-mal }
x^(a-b) = x^a / x^b
x¹ = x
x⁰ = x¹⁻¹ = x¹ / x¹ = x / x = 1 = x⁰
x⁻¹ = x¹⁻² = x¹ / x² = x⁰ / x¹ = 1/x
Ergibt sich aus der Potenzreihenentwicklung der E-Funktion, kannst du auch selbst nachrechnen.
Potenzgesetze würde ich behaupten.
Nein, x^(-n) ist einfach nur definiert als exp(ln(x) * (-n)), dass das dann 1/x^n ist ergibt sich aus der Definition der Exponentialfunktion.