(-1) hoch unendlich?
4 Antworten
Du meinst sicherlich den Grenzwert (Limes) von (-1)^x für x → unendlich.
Der Grenzwert existiert nicht. Das divergiert.
Nein, existiert nicht heißt existiert nicht. Unendlich wird gelegentlich als uneigentlicher Grenzwert bezeichnet, aber selbst dieser uneigentliche Grenzwert ist hier nicht vorhanden, da das Vorzeichen alterniert.
Es lässt sich kein x finden von dem an alle f(x) in einer Epsilonumgebung liegen und für den uneigentlichen Grenzwert müsste es wenigstens eine einseitige Beschränkung ab einem x geben.
Außerdem hast du mich durcheinander gebracht ;)
wenn x gegen unendlich läuft, schwingt die Funktion zwischen -1 und 1.
Die Aussage von oben muss also sein, dass du zu jeder beliebig klein gewählten Epsilonumgebung kein x findest, ab dem alle f(x) in dieser Umgebung liegen. Ich hoffe, so passt das besser. :)
Ja, liebe "Vorredner" der Wert existiert nicht, aber die Folge divergiert nicht (divergieren --> auseinanderstreben), wie Suboptimierer schrieb. MagicalGrill hat da eher recht, dass sie nicht konvergiert.
Vielleicht ist "divergieren" nicht der etymologisch korrekte Begriff, aber fachlich ist er korrekt. Man gebe das in einen beliebigen Online Rechner ein, z. B.
https://www.symbolab.com/solver/limit-calculator/%5Clim\_%7Bx%5Cto%5Cinfty%7D%5Cleft(%5Cleft(-1%5Cright)%5E%7Bx%7D%5Cright)
Hingegen divergiert die Folge {\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}, da sie sich keiner Zahl annähert, sondern nur zwischen den Werten −1 und 1 alterniert („hin und her springt“).
https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert\_(Folge)
Und ja, die Werte streben auseinander, nämlich zu -1 und +1.
Ist nicht definiert, weil die Folge (-1)^n nicht konvergiert.
Wenn man es unbedingt definieren will, würde ich 0 empfehlen.
@MagicalGrill
0 ist absoluter Quatsch. Je nach dem ob x geradzahlig oder ungeradzahlig ist, springt der Wert zwischen +1 und -1.
Ja, und genau deswegen hat die oben genannte Folge keinen Grenzwert: Es gibt keinen Wert, dem sich die Folge annähert. Deswegen ist (-1)^unendlich auch nicht definiert.
Wie also komme ich auf 0? Das ist ein klassisches, verwirrendes, irreführendes aber irgendwie plausibel klingendes Argument:
Ich betrachte die formale Reihe
r = -1 + 2 - 2 + 2 - 2 + 2 - 2 + 2 - 2 + ..........
Wenn ich nach dem n-ten Summanden abbrechen würde, wäre das Ergebnis gerade (-1)^n. Daher sollte r = (-1)^unendlich sein. Statt r zu berechnen, kann ich auch s = (r + 1) berechnen und dann später r mithilfe von r = s - 1 ermitteln.
Nun gilt s = 2 - 2 + 2 - 2 + 2 - 2 + .....
Also:
2 - s = 2 - (2 - 2 + 2 - 2 + 2 - 2 + ...). Wenn man die Klammer auflöst, erhält man
2 - s = 2 - 2 + 2 - 2 + 2 - 2 + ... = s.
Aber 2 - s = s bedeutet 2s = 2, also s = 1.
Damit ist r = s - 1 = 0.
Beachte, dass das keine mathematisch saubere Herleitung ist, weil die Reihe r nun einmal nur eine formale Reihe ist, die aber nicht konvergiert.
Ob ich (-1)^n als Potenz oder Summe schreibe, sollte doch keinen Unterschied machen? Die Werte ändern sich ja nicht.
Wie oft wird diese Frage hier eigentlich noch gestellt?
∞ ist keine Zahl (nichtmal ein Platzhalter für eine Zahl). Deswegen gibt es keine definierte Möglichkeit, ∞ wie eine Zahl zu behandeln.
Da könntest du ebenso gut versuchen durch 0 zu teilen...
Und selbst wenn du nicht die Lösung der Gleichung x=(-1)^∞ sondern den Grenzwert für (-1)^x für x→∞ meinst, auch der existiert nicht, da (-1)^x abwechselnd die Werte 1 (für jedes gerade x) und -1 (für jedes ungerade x) ausspuckt. Jetzt versuch mal definitionsgemäß zu ermitteln, ob ∞ gerade oder ungerade ist...
Im absolut besten Fall könnte man jetzt mit "schrödingers Katze" ankommen und sagen "Der Grenzwert ist sowohl 1 als auch -1.", aber selbst das ergäbe nicht gerade viel Sinn.
das heißt unendlich?