Warum ist 0.9(Periode) gleich eins?

10 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Das habe ich mich in der 9. Klasse oder so auch gefragt :) Erstmal noch zu deinem Beispiel: Das 1/3 * 3=1 ist. Hast du dich nicht viel eher gefragt, warum 1/3 = 0,333333333 ist? Denn dass 1/3 * 3=1 ist die eigentliche Definition von 1/3 ^^

Aber nun zu deiner Frage: Inzwischen studiere ich im 2. Semester Mathematik und kann dir folgendes dazu sagen: Ich weiß nicht, ob du weißt, was ein Grenzwert ist, aber ich versuche es mal hier zu erklären. Wenn du z.B. eine Zahlenfolge hast, also z.B. 1/n. n ist eine natürliche Zahl, also 1, 2, 3, 4, 5, ... Der Grenzwert soll nun zeigen, was passiert, wenn du n gegen ∞ laufen lässt. Also quasi, was 1/∞ ist. Gib doch einfach mal in einen Taschenrechner 1/10000 ein. Dann als nächstes 1/1000000. Und so weiter. Du wirst bemerken, je größer der Nenner wird, desto kleiner wird das Ergebnis. Im Unendlichen ist der Bruch natürlich eigentlich nicht definiert. Aber da das Ergebnis immer kleiner wird, ist der Grenzwert (also sozusagen das Ergebnis von 1/∞) als 0 definiert.

0.9 Periode kannst du also als die Summe von 9/10 + 9/100 + 9/1000 + 9/(10^4) + 9/(10^5) + ... + 9/(10^9) Auch das ist eine Zahlenfolge. Man würde sie schreiben als: a1=9/10. an+1=an+9/10^n+1.

Setze also wenn du die ersten Werte der Folge ausrechnen möchtest: n=1: a2=a1+9/10^2 = 9/10+9/100. Für n=2: a3=a2+9/10^3 = 9/10+9/100+9/1000... und so immer weiter. Dein Mathelehrer hat das sehr schön formuliert mit dem: Wenn du denkst es fehlt noch eine Neun dann kommt noch eine dazu.

Denn je mehr 9/10^n s du dazu addierst, wird die Zahl immer größer. Aber nie größer als 1. 1 ist also eine obere Schranke (0,9 Periode wird nie größer als 1) Es ist aber auch die kleinste obere Schranke, weil sobald du ein bisschen unter 1 gehst, wirst du merken, dass 0,9 Periode doch größer ist. Daher ist der Grenzwert (also 0,9 Periode) 1.

Ich hoffe das war jetzt nicht zu verwirrend für dich und du verstehst es einigermaßen. . ich weiß nicht in welcher Klassenstufe du bist, aber wenn du dich für das Thema Grenzwerte interessierst, kannst du ja auch einfach noch ein bisschen dazu googeln. Ansonsten wird es dir spätestens im Leistungskurs Mathe in der Oberstufe erklärt ;)

LG mathe4ever

Das hast du gut erklärt und ja ich weis was ein Grenzwert ist. Ich befasse mich auch in meiner Freizeit mit Mathematik, unter anderem auch wegen meinem Hobby in C zu programmieren. Ich frage weil ich schon unterschiedliche Meinungen (auch von erfahrenen Personen) gehört habe. Aber deine Erklärung ist einleuchtend.

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@AsylDaem0n

Um das mit der oberen Schranke noch besser zu erklären, ist mir gerade noch etwas eingefallen: Wenn zwei Zahlen unterschiedlich sind, muss es ja eine Zahl zwischen den Beiden geben. Egal wie nah die Zahlen nebeneinander liegen (bsw. 0,00000000000987 und 0,000000000009871) gibt es unendlich viele Zahlen dazwischen: In dem Beispiel zum Beispiel 0,0000000000098705 oder 0,0000000000098709.

Aber es liegt keine Zahl zwischen 0,9 Periode und 1. Ziehst du auch nur einen minimalen wert von 1 ab, ist 0,9 Periode größer. Daher sind, auch wenn es erstmal vielleicht sehr unlogisch erscheinen mag, die beiden Zahlen gleich.

Das Unendliche und das Verhalten von Zahlen im Unendlichen ist immer sehr spannend und schwer zu erfassen. Was ist Unendlich. Gibt es nur ein Unendlich oder mehrere? Gibt es ein Unendlich, was kleiner ist als andere.

Diese Frage stellt sich zum Beispiel, wenn man überlegt, wie groß die Menge der natürlichen Zahlen, oder die Menge der ganzen Zahlen oder die Menge der reellen Zahlen ist. Intuitiv, würde man ja sagen, die Menge der ganzen Zahlen hat doppelt so viele Elemente, wie die Menge der natürlichen Zahlen. Andererseits sind beide Mengen unendlich groß. Sind dann in der Menge der ganzen Zahlen wirklich mehr Elemente?

Nein, sind es nicht, aber das ist hier jetzt schwer zu erklären. ABER: Die Reellen Zahlen haben mehr Elemente als die natürlichen Zahlen. Man nennt sie überabzählbar unendlich, während die ganzen Zahlen abzählbar unendlich sind. Grob gesagt, geht es darum, ob man eine Abbildung finden kann, die die natürlichen Zahlen auf die Menge abbildet. Und das geht mit den reellen Zahlen nicht.

Wenn du Lust hast, denk drüber nach. Kannst gern auch noch ein bisschen fragen ^^ LG mathe4ever

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Super erklärt 😊

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Zur Visualisierung gibt es auf YouTube auch ein Video: 0,99 = 1 (oder wo ähnlich) von TheSimpleMaths ;)

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Streng genommen gibt es kein Algorithmus, der die Zahl "0,9Periode" erzeugen kann, da man dafür die Zahl "Unendlich - 1" bräuchte, ABER die gibt es nicht:
Unendlich -1 = Unendlich

So ergeben alle Algorithmen (Konstruktionsversuche) den Grenzwert 1:
1/9 * 9 = 1
1/3 * 3 = 1
sum 9/(10^k),k=1...∞ = 1,
denn die Teilsumme bis n ergibt (10^n-1)/10^n und bei n gegen ∞
landet man wieder bei ∞ / ∞ = 1

Auch die Beweise von Drainage und Iks72 beweisen, dass das "angenommene 0.9Periode" in Wirklichkeit eine 1 ist.

An sich ist die periodische Darstellung nur eine Schreibweise.
0,1 ist 1/10 ---- das ist natürlich dezimal ,
0, periode 1 ---- das ist 1/9, wie du leicht feststellst, wenn du das mal ausdividierst.

Dass du es nicht fertigschreiben kannst, steht auf einem anderen Blatt, als Idee ist es eben gleich einem Neuntel. Und 9 Stück davon ergeben ein Ganzes. Den gedanklichen Umweg über 1/3 würde ich gar nicht gehen. Denn du kannst ja alle periodischen Zahlen in Neuntel, Neunundneunzigstel usw. sowie die gemischtperiodischen in Neunzigstel, Neunhundertneunzigstel usw. umformen.

Woher ich das weiß:Eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Es ist nicht wirklich "gleich Eins", aber jede weitere Neun nähert den Wert der 0,9 immer mehr an die Eins heran. Irgendwann kommst du nach einer riesigen Reihe mit Neunen nach dem Komma so nahe an den Wert Eins heran, daß der Abstand bis zur echten Eins ignoriert werden kann und du nurnoch 1 benennst. In Wirklichkeit wirst du eine volle Eins nie erreichen.

Und genau das geht am Punkt vorbei. 0,periode 9 ist genau 1, nicht ein bisschen weniger als 1 und wirklich in Wirklichkeit 1. Du verwechselst zwei Dinge:

Einmal die Folge

0,9
0,99
0,999
0,9999
....

Und einmal den Wert 0, periode 9.

Die Folge besteht aus unendlich vielen einzelnen Dezimalzahlen. Jede dieser Zahlen ist um eine 9 "länger". Bei der Folge kann man also sagen, dass bei jedem neuen Folgenglied eine 9 hinzu kommt und sich jedes neue Folgenglied also ein bisschen näher an der 1 befindet - aber kein Folgenglied ist gleich 1.

Der Wert 0, periode 9 ist aber keine Folge, sondern der Grenzwert der obigen Folge. Das - und leider fehlen in der Schule zu dem Zeitpunkt noch das Werkzeug und die Begriffe, das richtig einzuführen - ist die korrekte Definition von "periodischen Dezimalzahlen": es geht immer um den Grenzwert einer Folge hier.

Und der ist eindeutig zu bestimmen und in diesem Fall eben genau 1. Ganz genau 1, nicht irgendwas knapp darunter.

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@FataMorgana2010

Danke, so habe ich das in der Schule nicht erklärt bekommen, mein jetziger Mathe Lehrer sagt "Periodische Zahlen sind Restmüll" er sagt ausserdem ich soll mich nicht mit höherer Mathematik befassen, das wäre eh viel zu kompliziert und die "richtigen" Mathematiker sind alle etwas verrückt und ich Zitiere: "Das sind die Leute die später an die Wand springen und Mücken fressen" :D

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Naja das zu den Mathematikern will ich mal unkommentiert lassen. Die höhere Mathematik brauchst du aber auch für die Physik (und in geringerem Ausmaß für Ing). Lern da ruhig so viel wie möglich ;)

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Wir haben's damals in Ana1 folgendermaßen bewiesen bekommen:

a := 0,999...

⇒ 10a = 9,999...

⇔ 10a = 9 + 0,999...

⇔ 10a = 9 + a

⇔ 9a = 9

⇔ a = 1

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