Warum ist 0.999999999999(...)=1?
Warum ist null komma periode neun gleich 1? Ich meine die 0.999(...) ist ja graphisch gesehen unendlich nah an der 1 dran aber ist sie auch gleichzeitig.
9 Antworten
Jede reele (insbesondere periodische) Zahl lässt sich darstellen als eine unendliche Summe.
0,999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...
Davon kann man dann den Grenzwert bilden, also schauen was passiert, wenn man das immer öfter ausführt. Der Abstand zur 1 ist dann für eine endliche Summe jeweils:
1 - 0,9 = 0,1
1 - (0,9 + 0,09) = 1 - 0,99 = 0,01
1 - (0,9 + 0,09 + 0,009) = 1 - 0,999 = 0,001
...
Man wird also kleiner als jede Zahl ε > 0, wenn man es weit genug geht.
Wenn also bereits 1 - jede endliche Summe, welche groß genug ist, kleiner wird als irgendeine positive Zahl, so muss das für Unendliches Summieren erst recht gelten. Also ist 1 - 0,999... = 0 (vollständigerweise muss man noch sagen, dass jedes 1 - Summe nicht kleiner als 0 ist, aber das sollte klar sein)
Wenn zwei Zahlen die Differenz 0 haben, ist es dieselbe Zahl. So kann man das mathematisch präzise überprüfen, ohne mit schwammigen Konzepten wie "unendlich nahe" rätseln zu müssen.
Alternativ wenn dich die Drittel nicht überzeugen:
x = 0,9999999...
10x = 9,9999999...
10x - x = 9x = 9
=> x = 1 = 0,99999...
weil zwischen zwei verschiedenen reellen zahlen unendlich viele reelle zahlen existieren. da aber zwischen 0.9... und 1 keine reelle zahl gibt, können diese beiden reellen zahlen nicht unterschiedlich sein, daher gleich.
Weil 0,999… ein Grenzwert ist - das sieht man schon an den Punkten in der Darstellung, die Zahl lässt sich nicht ausschreiben; dieser Grenzwert hat den Wert 1.
Warum ist null komma periode neun gleich 1?
Weil
genau 1 Ganzes sind.