Wann teilt 4 eine natürliche Zahl, die im Stellenwertsystem zur Basis 14 (mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D) dargestellt ist?
Es geht darum irgendwie auf eine Endstellenregel zu kommen. Ich habe schon alles mögliche versucht aber ich bin glaub ich einfach zu dumm :(
3 Antworten
jede Zahl lässt sich darstellen als
a0 + a1*14 + (a2*14² + a3*14³ + ...)
Der Klammerausdruck ist sicher durch 4 teilbar, also müssen die ersten beiden Stellen durch 4 teilbar sein.
Das kann man noch verfeinern, aber diese Aussage gilt mal ;-)
Jetzt überleg mal logisch, wann die ersten beiden Ziffern als Zahl durch 4 teilbar sind...
:-)
Hm, also was ich jetzt daraus entnehme: Also du hast ja jetzt Potenzschreibweise genutzt (ich gehe mal davon aus das bei a3 14^3 stehen soll). Jede Potenz von 14 nach 14^2 ist durch Vier teilbar. Also muss die Summe von a0 und a1*14 durch 4 teilbar sein damit die gesamte Zahl durch 4 teilbar ist?
Wie ist das dann aber mit z.B. 132(14)? Die ist durch 4 teilbar aber 3 + 2 ist ja offensichtlich 5 und somit nicht durch 4 teilbar.
Oder kann man irgendwie schreiben dass die Summe der letzten zwei Stellen im 10ersystem durch 4 teilbar sein muss?
Ich habe auch gemerkt, dass jedes Vielfache von 14 ohne Potenz -2 oder +2 ein vielfaches von 14 ist... bringt mir das was?
Sorry für die vielen Fragen ^^'
Mit den ersten Stellen meinte ich die sich ergebende Zahl: in diesem Fall 23(14)=44
Es gilt:
14=3*4+2≡2 Mod(4)
Also ist 14^n≡0 Mod(4) wenn n größer gleich 2 ist.
Somit folgt: (a_k ist der k. Koeffizient)
Summe von k=1 bis n von 14^k*a_k
≡a_0+2*a_1 mod(4)
Somit gilt, dass die Zahl durch 14 Teilbar ist, genau dann wenn die Zahl, die durch die letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 14 Teilbar ist (also 14*a_1+a_0)
Oder: wenn a_0+2*a_1 durch 4 Teilbar ist
Ich verstehe alles bis zum a_k. Woher kommt das?
Und was genau ist jetzt der Koeffizient, die 14?
Sagen wir die Zahl im 14er system ist ABC123
a_0 ist hier 3
a_1 ist 2
...
a_4 ist 11 (B)
a_5 ist 10 (A)
a_k ist also der Wert der k. Stelle als Dezimalzahl
da aber 14^k für alle k größer 2 durch 4 Teilbar sind, sind die Koeffizienten davon irrelevant, du musst also nur die ersten beiden Betrachten
Okay, danke das macht sinn. Und a steht einfach immer für die 14er Potenzen
Ne nicht die Potenzen, sondern welche Zahl davor steht.
3*14+4
Dann ist a_1=3 und a_0=4
Also ist a_1 der Wert der 14er Stelle
Danke! Ich glaube da hast du mir echt weitergeholfen, ich versuch dann mal alles auf der ikonischen ebene zu begründen und dann gehts ins Wochenende. :D
Ein interessanter Gedanke, der mir hierbei gekommen ist:
Die übliche Regel im Dezimalsystem lautet ja: "Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die durch die letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist".
Man könnte diese Regel anpassen zu:
Eine Zahl im 14er-System ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die durch die letzten beiden Ziffern gebildete Zahl gelesen als Dezimalzahl durch 4 teilbar ist.
Der Grund ist einfach, dass
a_0 + 14a_1 ≡ a_0 + 10a_1 mod 4 gilt.
Bleibt die Frage, wie man Zahlen wie A8 als Dezimalzahl interpretiert, aber wenn man einfach A ≡ 2, B ≡ 3, C ≡ 0 und D ≡ 1 einsetzt, sollte alles passen, wenn ich nichts übersehen habe.
Wenn die vorletzte Ziffer ungerade ist,
muss die letzte Ziffer 2, 6 oder A sein.
Wenn die vorletzte Ziffer gerade ist,
muss die letzte Ziffer 0, 4, 8 oder C sein.
Vielen lieben Dank!
Hab es mal ausgetestet und das scheint richtig zu sein.
Wenn es kein zu großer Aufwand ist, könntest du mir dann sagen wie du darauf gekommen bist? :)
Danke :D
Wenn die vorletzte Ziffer ungerade ist, hast
du 14*<gerade Zahl> + 14. Die 14 musst
du mit 2, 6 oder 10 auf ein Vielfaches von
4 bringen. Der erste Teil ist ein Vielfaches
von 28 und damit telbar.
Wenn die vorletzte Ziffer gerade ist, hast
du 14*<gerade Zahl>. Das ist durch 4 teilbar,
so dass nur noch die letzte Ziffer durch 4 teilbar
sein muss.
In der üblichen Notation sind das die letzten beiden Ziffern ...