Wahrscheinlichkeit mehr weiße als schwarze Kugeln?
Aus einer Urne mit 15 weißen und 15 schwarzen Kugeln werden blind nacheinander 50 Kugeln mit Zurücklegen entnommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dass mehr weiße als schwarze Kugeln gezogen werden.
Komme iwie nicht drauf
Wie willst du aus einer Urne mit insgesamt 30 Kugeln 50 Kugeln entnehmen? Da fehlt eine wichtige Information. Wie viele Kugeln sind ingesamt in der Urne?
Es ist ja mit Zurücklegen es wird quasi 50 mal ne Kugel rausgezogen
2 Antworten
Da das Problem symmetrisch bzgl. weisser und schwarzer Kugeln ist, ist es genauso wahrscheinlich, mehr weisse als schwarze Kugeln zu ziehen wie mehr schwarze denn weisse Kugeln. Gleichzeitig addieren sich die folgende Wahrscheinlichkeiten zu 1:
P(mehr weisse als schwarze) + P(mehr schwarze als weisse) + P(gleich viele schwarze wie weisse) = 1.
Somit gilt:
P(mehr weisse als schwarze) = (1 - P(gleich viele weisse wie schwarze))/2
Du brauchst also nur das Ereignis 25 x weiss und 25 x schwarz zu betrachten und die Anzahl der günstigen zur Anzahl aller möglichen Fälle ins Verhältnis zu setzen…
Da wir 50 Kugeln mit Zurücklegen ziehen, gibt es insgesamt
2(hoch)50
mögliche Ausgänge, denn bei jedem Zug haben wir zwei Möglichkeiten: weiß oder schwarz. Die Anzahl der günstigen Ausgänge, also diejenigen, bei denen mehr weiße als schwarze Kugeln gezogen werden, können wir mit dem Binomialkoeffizienten berechnen. Wir müssen alle Fälle addieren, bei denen wir mindestens 26 weiße Kugeln ziehen, also
(2650)+(2750)+...+(5050)
Dies ergibt
k=26∑50(k50)=563862029680
Die Wahrscheinlichkeit ist dann der Quotient aus der Anzahl der günstigen und der Anzahl der möglichen Ausgänge, also
P(mehr weiße als schwarze Kugeln)=250∑k=2650(k50)≈0,524
Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mehr weiße als schwarze Kugeln gezogen werden, ungefähr 52,4% beträgt.
Das Ergebnis sollte eigentlich richtig sein. Aber alle Angaben ohne Gewähr. ;D
Vielleicht hilft dir diese Seite weiter:
Wahrscheinlichkeit mit Urnenmodell und LaPlace berechen (studyhelp.de)
Das wollte ich auch gerade schreiben, nachdem ich meine eigene Antwort formuliert hatte… :-)
Das kann nicht stimmen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr schwarze Kugeln als weiße gezogen werden, muss ja genauso groß sein. Und da die beiden Ereignisse ("Es werden mehr weiße Kugeln gezogen") und ("Es werden mehr schwarze Kugeln gezogen") disjunkt sind, hätte das Ereignis ("Es werden mehr schwarze Kugeln oder mehr weiße Kugeln gezogen") die Wahrscheinlichkeit 104,8% - und das kann natürlich nicht sein.