Verkettung von Funktionen?
Kann mir bitte jemand Aufgabe 5c verständlich erklären? Ich verzweifle daran… a und b hab ich hinbekommen
Danke!!
3 Antworten
2c)
Die Funktion v ist eine lineare Funktion mit negativer Steigung:
aus x ---> +∞ folgt v(x) ---> -∞
aus x ---> -∞ folgt v(x) ---> +∞
Die Funktion u ist eine nach oben geöffnete Parabel:
aus x ---> +∞ folgt u(x) ---> +∞
aus x ---> -∞ folgt u(x) ---> +∞
###
f(x) = u( v(x) )
Der Grenzwert -∞ als auch der Grenzwert +∞ von v(x) wird durch die nachgeschaltete Funktion u(x) in +∞ umgewandelt. Daraus folgt:
aus x ---> +∞ folgt f(x) ---> +∞
aus x ---> -∞ folgt f(x) ---> +∞
###
g(x) = v( u(x) )
Der Grenzwert +∞ von u(x) wird durch die nachgeschaltete Funktion v(x) in -∞ verwandelt. Daraus folgt:
aus x ---> +∞ folgt g(x) ---> -∞
aus x ---> -∞ folgt g(x) ---> -∞
Verkettung bedeutet ja, die Funktionswerte der einen Funktion werden als Argumente der anderen Funktion benutzt. v ist eine lineare Funktion mit fallenden Werten, u ist eine quatratische Funktion mit positivem Vorzeichen.
f ist verkettung von u und v, wobei beim Kuller die hintere Funktion zuerst angewandt wird. Also werden bei f die x-Werte erst bei v eingesetzt, und die y-Werte, die v hervorbringt, werden in u eingesetzt.
Nun soll f für x gegen + unendlich untersucht werden, also immer weiter nach rechts im Koordinatiensystem. v fällt, also werden seine Werte dann immer kleiner, liegen immer weiter unten im Koordinatensystem. Wenn ich die als x-Werte für u benutze, dann sind es x-Werte, die immer weiter nach links im Koordinatensystem laufen. Wenn ich die in u einsetze, bekommen ich immer größere positiver Werte - f läuft für x also gegen + unendlich.
Grob gesagt. Aber die Aufgabe will ja nur grafisch gelöst werden. So müssen jetzt noch die verbleibenden drei Fälle untersucht werden, also f gegen minus unendlich und g gegen plus und minus unendlich.
f=u○v
Dies bedeutet zuerst x wählen, dann v(x) bestimmen und anschließend mit dem Ergebnis von v(x) u(x) bestimmen.
g=v○u
Dies bedeutet zuerst x wählen, dann u(x) bestimmen und anschließend mit dem Ergebnis von u(x) v(x) bestimmen.
Zur Aufgabe 5 c:
Strebt x gegen +unendlich, dann strebt v gegen -unendlich und u bzw. f gegen +unendlich.
Strebt x gegen -unendlich, dann strebt v gegen +unendlich und u bzw. f gegen +unendlich.
Strebt x gegen +unendlich, dann strebt u gegen +unendlich und v bzw. f gegen -unendlich.
Strebt x gegen -unendlich, dann strebt u gegen +unendlich und v bzw. f gegen -unendlich.