Verkettung Funktion mit sich selbst?
f(f(x)) = f°f ist die Verkettung von f mit sich selbst. Bestimmen sie f(f(x)) und beschreibe die Beobachtung
a) f(x)= ; 0 ≤ x ≤ 2
b) f(x)= 2x+1/x-2 ; x≠ 2
Wie geht man hier vor?
Bis jetzt hab ich bei a) nur den Ansatz: f(f(x))= aber bin mir inicht sicher ob das stimmt...
2 Antworten
Du setzt den Funktionsterm wiederum für x ein. Bei a) ergibt sich
bin mir inicht sicher ob das stimmt
nicht ganz es müsste sein:
sein.
nein 3/3 weil 8-x^3 unter der kubikwurzel steht und durch das einesetzen in f hoch 3 genommen wird. Das ist der Witz der Aufgabe. Lass es bitte Antworten zu verschlimmbessern.
Aber wie rechnet man das jetzt weiter bzw. was kann man daraus beobachten?
Tipp: Unter der äußeren Kubikwurzel steht ein Ausdruck, der die dritte Potenz einer Kubikwurzel enthält. Vereinfache diesen Teilausdruck und versuche sodann, weiter zu vereinfachen. Du bekommst ein ganz einfaches Ergebnis.
Ja, x ist richtig. Und ich denkem dass das auchdie erwartete Beobachtung ist.
und bei der b) dort sind ja mehrere x soll man dann für jedes x auch f(x) einsetzen?
Ja, bei Aufgabe b musst du jedes auftretende x durch f(x) ersetzen. Das ist eine ziemliche Rechnerei.
Ich habe echt Probleme das aufzulösen aber müsste da nicht x rauskommen?
Richtig.
Bei Aufgabe b musste ich ein wenig probieren, um überhaupt herauszufinden, wie f(x) im Aufgabentext definiert ist. Es muss sein:
2*x + 1
f(x) = -------
x - 2
Dann erhält man tatsächlich f(f(x)) = x.
Wenn eine Funktion von x mit sich selbst verkettet immer x ergibt, ist diese Funktion zugleich auch ihre Umkehrfunktion. Das ist etwas ganz besonderes. Diese Besonderheit beobachtest du sowohl bei der Aufgabe a als auch bei der Aufgabe b.
Tippfehler im Exponenten: 1/3, nicht 3/3