Vergrößern und verkleinern?

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3 Antworten

a * b = 72

a * b * x = 162

x = 162 / 72 = 2,25

u = 2 * ( a + b ) * √x

Der Faktor ist 1,5.

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Wenn du die Seiten eines Rechtecks verdoppelst, um welchen Faktor vergrößern sich dann Umfang und Flächeninhalt?

Wenn du die Seiten eines Rechtecks verdreifachst, um welchen Faktor vergrößern sich dann Umfang und Flächeninhalt?

Wie verhalten sich die Faktoren von Umfang und Flächeninhalt bei der Vergrößerung?

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Die Aufgabe ist nicht konkret genug formuliert. Es muss heissen, dass die Vergrößerung gleichmäßig erfolgt ist. Die Rechtecke sind also "ähnlich". Dabei gilt, dass die Vergrößerung der Fläche  im Quadrat zur Umfangssteigerung erfolgt.

Verdoppeln wir den Umfang, wird der Flächeninhalt vervierfacht, also 2^2. Umgekehrt können wir aus dem Vergrößerungsfaktor der Fläche die Wurzel ziehen, um den Faktor für den Umfang zu bekommen. Wir rechnen also 162 / 72  =  2,25. Die Wurzel daraus ergibt 1,5, der Vergrößerungsfaktor für U.

Das Ursprungsrechteck könnte aufgrund der Primfaktoren der Zahl 72 (2*2*2*3*3) die (ganzzahligen) Maße 2*36, 3*24, 4*18, 6*12 oder 8*9 haben. Diese Maße müssen jeweils mit 1,5 multipliziert werden, um den Wert 162 zu erbringen, z.B. 2*1,5*36*1,5 = 3*54 = 162.

Wenn wir hingegen ein Rechteck ohne Beibehaltung der Proportionen vergrößern, gilt der oben beschriebene Zusammenhang nicht mehr. Nehmen wir 4*6 mit A = 24 und U = 20 und bleiben beim Vergrößerungsfaktor 2,25 der Fläche. A wäre dann 24*2,25 = 54.

Diesen Flächeninhalt bekämen wir ohne weiteres mit den Maßen 2*27, die uns den Umfang U = 58 liefern. Das Verhältnis der Umfänge beider Rechtecke wäre dann 58 : 20, was aber keineswegs 1,5 entspricht. Das vergrößerte Rechteck ist dem Ursprungsrechteck nicht ähnlich, was man unschwer erkennen kann.

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Kommentar von HeinzEckhard
23.05.2016, 00:43

Was ich vergessen habe, zu sagen: die Fläche A ist ein Produkt, der Umfang U hingegen eine Summe. 5 + 2 = 7, genau so wie 4 + 3 = 7. Aber: 5 * 2 = 10 und 4 * 3 =12. Das macht den Unterschied.

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