Vektoroperationen (Addition / Subtraktion)?

Hallo Zusammen,

Ich habe eine Grundlegende Frage zu den Vektoroperationen Addition und Subtraktion. Und zwar möchte ich euch Fragen was die Definition dazu ist bzw. was man daraus erhält.
Ist es richtig, dass bei der Addition von Vektoren immer ein neuer Vektor entsteht, welcher als resultierender Vektor bezeichnet werden kann?
Dieser resultierende Vektor knüpft dann an der Reihe der addierten Vektoren am Anfang an und endet beim letzten Vektor dieser Reihe.

Bei der Subtraktion möchte ich euch das selbe Fragen: Ist es ebenfalls möglich einen resultierenden Vektor aus einer Subtraktion zu gewinnen oder erhält man bei der Subtraktion von Vektoren immer deren Verbindungsvektor?
Oder gilt das mit dem Verbindungsvektor eben doch nur, wenn es sich bei dem Minuenden und Subtrahenden um Ortsvektoren handelt?

Was ist effektiv der Unterschied zwischen der Vektoraddition und Vektorsubtraktion?

Ich entschuldige mich für diese banale Frage, allerdings bin ich mir gerade nicht ganz sicher.

Merci für eine Rückmeldung

Answer 1

[LoverOfPi]

Hallo flaviozettel,

schöne Frage, die du da stellst. Dein tiefergehendes Interesse ist etwas, was man braucht um die Schönheit der Mathematik wirklich zu begreifen. Behalte das bei, egal, ob bei eher einfachen Themen, wie diesem hier, oder bei komplexeren Themen.

So nun zu deiner Frage. Erstmal kurz die Basics klären. Was ist ein Vektor? Ein Vektor ist an sich bloß ein sogenanntes n-Tupel, also die Sammlung von n (möglichst gleichartigen) (mathematischen) Objekten, geschrieben als Spalte. Du redest - davon gehe ich einfach mal aus - von den einspaltigen Vektoren der Form:

$\vec{v}=\left(x_1,\ x_2,\ ...,\ x_n\right)$ Stelle dir diesen bitte in der typischen Schreibweise vor, die gutefrage leider nicht zulässt.

In der Mathematik bezeichnen wir dieses Objekt, als Element der Menge

$\mathbb{R}^n$ Dafür lässt sich dann eine Addition definieren, diese ist definiert als:

$\text{Seien}\ \vec{\text{v}_1},\ \vec{\text{v}_2}\in\mathbb{R}^{\text{n}},\ \text{dann}\ \text{definiere}:\ \vec{v_1}+\vec{v_2}=\left(x_1,\ ...\ ,\ x_n\right)+\left(x_1',\ ...\ ,\ x_n'\right):=\left(x_1+x_1',\ ...\ ,\ x_n+x_n'\right)$ Also einfach koordinatenweise Addition.

Ist es richtig, dass bei der Addition von Vektoren immer ein neuer Vektor entsteht, welcher als resultierender Vektor bezeichnet werden kann?

Das ist korrekt. Die Vektoraddition ist abgeschlossen. Das heißt: Addierst du zwei Vektoren des R^n erhältst du immer einen weiteren Vektor des R^n. Aber Achtung: Dieser kann auch der Nullvektor sein. Das passiert, wenn du einen Vektor zu seinem Gegenvektor addierst. Bezeichnen kannst du ihn, wie du willst, aber "resultierender Vektor" ist sicher keine schlechte Idee. Verwende aber bitte einheitliche Begriffe.

Dieser resultierende Vektor knüpft dann an der Reihe der addierten Vektoren am Anfang an und endet beim letzten Vektor dieser Reihe.

Das ist nur bedingt richtig. Geometrisch stimmt deine Interpretation so halbwegs. Was richtig ist: Willst du zwei Vektoren v1, v2 addieren, und platzierst den Anfang von v2 ans Ende von v1, und verbindest den Anfang von v1 mit dem Ende von v2, so ist der entstandene Vektor äquivalent zum Resultat der Addition. Aber dieser Vektor ist bloß ein Repräsentator des allgemeinen Vektors. Ein Vektor hat einen Betrag - seine Länge - und eine Richtung. Er hat keinen vorgeschrieben Anfangspunkt. Du kannst einen Vektor beliebig im Raum verschieben und es bleibt der gleiche Vektor.

Ist es ebenfalls möglich einen resultierenden Vektor aus einer Subtraktion zu gewinnen?

Spätestens ab hier wird es etwas undurchsichtig, was du mit einem resultierenden Vektor meinst. Ein Vektor, der durch die Subtraktion entsteht, ist immer irgendwo ein resultierender Vektor. Du subtrahierst zwei Vektoren und bekommst einen "resultierenden" Vektor. "Resultierend sein" bedeutet ja erstmal nichts anderes, als "Ergebnis sein".

Oder erhält man bei der Subtraktion von Vektoren immer deren Verbindungsvektor? Oder gilt das mit dem Verbindungsvektor eben doch nur, wenn es sich bei dem Minuenden und Subtrahenden um Ortsvektoren handelt?

Hier ist erneut das Problem gegeben, dass du anscheinend den Vektor als fest im Raum siehst. Das ist er nicht. Fakt ist: Die Subtraktion von zwei Vektoren lässt sich direkt auf die Addition zweier Vektoren zurückführen. Dafür brauchen wir lediglich:

$\text{Sei}\ \vec{\text{v}}\in\mathbb{R}^n\text{ und}\ \text{c}\in\mathbb{R}.\ \text{Dann}\ \text{definiere}:\ \text{c}\cdot v=\text{c}\left(x_1,\ ...\ ,\ x_n\right):=\left(c\cdot x_1,\ ...\ ,\ c\cdot x_n\right)$ Dann ist:

$\vec{v_1}-\vec{v_2}=\vec{v_1}+\left(-1\cdot\vec{v_2}\right)$ Also geometrisch hast du einfach eine Addition. Der resultierende Vektor ergibt sich aus Addition von v1 und v2 umgedreht. Oder eben: Du hängst v2 umgedreht an die Spitze von v1.

Oder gilt das mit dem Verbindungsvektor eben doch nur, wenn es sich bei dem Minuenden und Subtrahenden um Ortsvektoren handelt?

Wie gesagt, du darfst Vektoren im Raum frei bewegen.

Was ist effektiv der Unterschied zwischen der Vektoraddition und Vektorsubtraktion?

Effektiv gar nichts. Die Vektorsubtraktion ist immer noch eine Vektoraddition.

Ich hoffe ich konnte deine Fragen etwas auflösen und dir das Konzept Vektor noch ein bisschen näher bringen. :)

Comments

[flaviozettel]

Wow, ich danke Dir herzlich für diese ausführliche und tolle Antwort :) Das hat mir sehr geholfen :)

[LoverOfPi]

@flaviozettel

Gerne doch!