Übung zum Monotoniesatz - MATHE 11. Klasse E-Phase?
Hey, ich brauche Hilfe und Unterstützung bei folgender Aufgabe. Mit Erklärung wäre super. Vielen Dank, schon mal im Voraus :)
2 Antworten
Ableitungsgraph oberhalb der x-Achse => Ausgangsgraph streng monoton steigend
Ableitungsgraph unterhalb der x-Achse => Ausgangsgraph streng monoton fallend
Insgesamt also: Ableitungsgraph nicht auf der x-Achse => Ausgangsgraph streng monoton
An den Nullstellen der Ableitung liegt genau dann ein Extremum vor, wenn von links nahh rechts über die Nullstelle ein Vorzeichenwechsel des Ableitungsgraphen ist.
Versuch es jetzt mal selber mit den Aussagen oben, ich kann gerne bestätigen/korregieren.
Genau, von positiv in negativ oder umgekehrt.
Hauptsache nicht von positiv in positiv oder negativ in negativ.
Sonst wäre es ein Sattelpunkt ;)
Dann wäre es bei der Nullstelle x=1 bei der Ausgangsfunktion f ein Tiefpunkt? Weil es vom negativen Bereich des Koordinatensystems zum positiven wechselt?
„Insgesamt also: Ableitungsgraph nicht auf der x-Achse => Ausgangsgraph streng monoton“
Was ist hiermit gemeint?
Was ist der Unterschied zwischen streng monoton steigend/fallend und streng monoton?
Streng monoton bedeutet, dass es entweder streng monoton steigend oder fallend ist. Es ist also der Oberbegriff für beide Fälle. Trifft also nur einer der beiden Fälle (streng monoton steigend/fallend), ist damit immer strenge Monotonie gegeben. Nur wennn man weiß, dass eine Funktion streng monoton ist, ist damit eben noch nicht geklärt, ob sie streng monoton steigend oder fallend ist. In der Aufgabe steht aber nur, dass man die Intervalle angeben muss, wo die Funktion streng monoton ist. Ich emphele dir aber direkt anzugeben, ob sie streng monoton steigend oder fallend ist.
Dann wäre es bei der Nullstelle x=1 bei der Ausgangsfunktion f ein Tiefpunkt? Weil es vom negativen Bereich des Koordinatensystems zum positiven wechselt?
Ja.
Danke für die super Erklärung! Eine Frage hätte ich trotzdem noch; wie gibt man Intervalle korrekt an? (Schreibweise)
Danke für die super Erklärung! Eine Frage hätte ich trotzdem noch; wie gibt man Intervalle korrekt an? (Schreibweise)
"a ≤ x ≤ b" das selbe wie "x ∈ [a, b]"
"a ≤ x < b" das selbe wie "x ∈ [a, b)"
"a < x ≤ b" das selbe wie "x ∈ (a, b]"
"a < x < b" das selbe wie "x ∈ (a, b)"
In der Schule trennt man die Intervallsgrenzen (a unter Grenze, b obere Grenze) statt mit einem Komma mit einem Semikolon, also z. B.
statt [a, b) dann [a; b). Denn in der Schule schreibt man Dezimalzahlen mit Kommata, also z. B. das Intervall von exklusive 1,2 bis inklusive 2 wäre dann (1,2; 2].
Also ist es gleichgestellt, ob ich (1,2;2] oder 1,2 < x < 2 schreibe?
Nein.
x ∈ (1,2; 2] ist das selbe wie 1,2 < x ≤ 2.
Wenn die Klammer eckig ist, gehörhr die Grenz auch noch dazu (also Kleinergleich-Zeichen), wenn sie rund ist, nicht (also nur Kleiner-Zeochen)
Okay, aber wie schreibe ich bei der oben aufgeführten Aufgabe die Intervalle auf?
(–∞, 1] streng monoton fallend
[1, 2] s. m. steigend
[2, ∞) s. m. fallend
Auch wenn z. B. im Intervall [1, 2] die Steigung an den Grenzen (also x = 1 und x = 2) eigentlich null ist, ist - da es nur eine einzige Stelle ist - dennoch strenge Monotonie gegeben. Du kannst die Grenzen also mit rein nehmen (also eckige Klammern).
Liegt der Graph von f'(x) in einem Bereich unter y = 0 also der x-Achse, so ist der Graph Gf monoton fallend. Das Gegenteil gilt für eine steigende Monotonie.
Die Graphen von f haben an den x-Koordinaten Tief- bzw. Hochpunkte, an denen gilt f'(x) = 0.
Bei den Nullstellen ist mit Vorzeichenwechsel gemeint, dass der Graph vom negativen Bereich des Koordinatensystems in den Positiven wechselt oder ist die Steigung gemeint?